La curva di Koch

La curva di Koch è una delle prime curve frattali di cui si conosca una descrizione. Helge von Koch la introdusse in un articolo pubblicato nel 1904, prima quindi che venisse introdotto il concetto di frattale, e intitolato “Su una curva continua senza tangenti e costruibile con la geometria elementare”. Dietro a questo titolo apparentemente confuso si nasconde un concetto tanto semplice quanto sorprendente.

“… la curva di Koch […]una linea veramente meravigliosa tra tutte. Se fosse dotata di vita, non sarebbe possibile annientarle senza sopprimerla al primo colpo, poiché in caso contrario rinascerebbe incessantemente dalla profondità dei suoi triangoli, come la vita nell’universo.”

Ernesto Cesàro “Remarques sur la courbe de von Koch” (1905)

La costruzione della curva di Koch avviene grazie ad un algoritmo molto semplice che consiste nella ripetizione di un ciclo di operazioni di geometria elementare, partendo da un segmento di assegnata lunghezza:
i. Dividere il segmento in tre parti uguali;
ii. Cancellare il segmento centrale, sostituendolo con due segmenti della stessa sua lunghezza che costituiscono i due lati di un triangolo equilatero;
iii. Tornare al punto i. per ognuno degli attuali segmenti.

Proprietà della curva di Koch

Il titolo dell’articolo pubblicato da Koch preannuncia due importanti proprietà matematiche della curva: continuità e non derivabilità. Nel suddetto articolo, Koch enuncia anche un'altra interessante proprietà, l'esistenza di punti sulla curva che non sono e non saranno mai dei vertici, e la definizione della curva come funzione parametrica. ( Dimostrazioni )

Altre proprietà della curva di Koch sono quelle elencate di seguito:

Autosimilarità;

Lunghezza infinita e area finita

Dimensione frattale frazionaria

Anno Accademico

La curva di Koch