Il problema di Fermat

Qual è il punto che rende minima la distanza da tre punti del piano?
Storicamente, il quesito fu proposto da Fermat a Torricelli e diede vita ad una intensa corrispondenza epistolare tra i due, anche se di fatto il problema raggiunse anche molti altri matematici dell'epoca.
Consideriamo dapprima alcuni casi particolari:
n = 1: Il punto di Fermat è in punto stesso dal momento che la distanza fra un punto ed il punto stesso è nulla e quindi è la minima possibile;
n = 2: Il punto di Fermat può essere un qualsiasi punto giacente sul segmento che collega i due punti dati;
n = 3: Si possono distinguere tre casi:
- se i tre punti sono allineati il punto di Fermat è il punto intermedio dei tre;
- se i tre punti formano un triangolo con un angolo maggiore di 120 gradi il punto di Fermat è il punto del vertice dell'angolo ottuso
- altrimenti il punto di Fermat è il punto interno al triangolo che, se collegato con un segmento ad ognuno dei tre vertici, forma tre angoli da 120 gradi.
Per individuare il punto Fermat di un triangolo, con l'angolo maggiore che sia al massimo 120 gradi, si procede nel modo seguente:
1. Si devono costruire tre triangoli regolari all'esterno dei lati del triangolo dato;
2. A partire da ognuno dei nuovi vertici del triangolo regolare condurre una linea sino al vertice opposto del triangolo;
3. Le tre linee si intersecano nel punto di Fermat.
Quando un triangolo ha un angolo maggiore di 120 gradi il punto di Fermat è posto sul vertice dell'angolo ottuso.