Per capire meglio la quarta dimensione.

L'esempio che può servire per capire meglio la quarta dimensione è l'ipercubo.

Sì può avere una rappresentazione visiva della costruzione dell'ipercubo cliccando quì.

L'ipercubo è l'estensione a n dimensioni del concetto di cubo.
Per capire bene come è fatto l'ipercubo considereremo lo zero-cubo, l'uno-cubo, il due-cubo e così via.

Lo Zero-Cubo è un punto: è un oggetto geometrico piuttosto povero, è impossibile disegnarlo perché è talmente piccolo da non potersi vedere, non ha dimensione. Tuttavia possiamo rappresentarcelo rozzamente, possiamo intuire il suo essere disegnando un piccolo dischetto.

L’ Uno-Cubo è un segmento chiuso ai suoi estremi: è un oggetto dritto, che giace ugualmente rispetto ai suoi punti, come diceva Euclide, ma talmente sottile da non potersi vedere, è pura lunghezza, ha una sola dimensione. Non c’è molto da dire sull’Uno-Cubo se non il fatto che i suoi estremi sono due, anzi sono due Zeri-Cubi. L’Uno-Cubo sia può considerare come un insieme formato da particolari numeri, più precisamente da tutti i numeri reali x tali che:
0 < x < 1

Il Due-Cubo è un quadrato: è un oggetto piatto, che giace ugualmente rispetto alle sue rette come diceva Euclide, senza spessore. Ha solo due dimensioni: una larghezza e una lunghezza. Per chi si accontenta di una immagine approssimata si può disegnare un quadrato e avere un’idea della natura del Due-Cubo. Le sue parti estreme hanno un certo interesse: ci sono quattro lati che sono Uno-Cubi e anche quattro vertici che sono Zero-Cubi. Se si vuole essere rigorosi si può immaginare il Due-Cubo come l’insieme delle coppie ordinate (x,y) di numeri reali tali che
0 < x < 1
0 < y < 1

Il Tre-Cubo è l’unico oggetto che vive nella nostra stessa dimensione. Il Tre-Cubo ha altri nomi più famigliari come Cubo o Dado. Ognuno di noi ha giocato con questi Tre-Cubi e ha avuto a che fare con le sue 6 facce, 6 Due-Cubi che lo contornano. Agli estremi abbiamo anche 12 Uno-Cubi (gli spigoli) e 8 Zero-Cubi (i vertici). La struttura del Dado è talmente familiare che non vale la pena di aggiungere altro. Alcuni insistono nel voler disegnare su un foglio di carta il Tre-Cubo e per far questo sono obbligati ad appiattire una dimensione. Con vari espedienti (proiezione ortogonale, proiezione prospettica, ombreggiatura o altri) si riesce a dare l’illusione della profondità forse perché il dado è talmente familiare che subito lo si riconosce in un disegno anche incerto.

In questa figura si è disegnata una faccia del cubo in primo piano trasparente, in modo da lasciar vedere il dietro del cubo (in secondo piano) che è un’altra faccia quadrata e più scura disegnata all’interno, le altre 4 facce sono diventate le "pareti" di questa stanza che, anche se nel disegno sono diventate trapezoidali, pure vengono riconosciute come quadrate. In maniera rigorosa possiamo espletare un Cubo come formato da tutte le terne ordinate di numeri reali (x,y,z) per i quali
0 < x < 1
0 < y < 1
0 < z < 1
Per lui le facce sono terne estreme per le quali o la x o la y o la z è fissata:
(0,y,z) con 0 < y < 1 e 0 < z < 1
(1,y,z) con 0 < y < 1 e 0 < z < 1
(x,0,z) con 0 < x < 1 e 0 < z < 1
(x,1,z) con 0 < x < 1 e 0 < z < 1
(x,y,0) con 0 < x < 1 e 0 < y < 1
(x,y,1) con 0 < x < 1 e 0 < y < 1
I 12 spigoli sono le terne estreme-estreme per le quali due variabili sono fissate:
(0,0,z) , (0,1,z) , (1,0,z) , (1,1,z) con 0 < z < 1
(0,y,0) , (0,y,1) , (1,y,0) , (1,y,1) con 0 < y < 1
(x,0,0) , (x,0,1) , (x,1,0) , (x,1,1) con 0 < x < 1
Mentre i vertici sono le 8 terne estreme-estreme-estreme
(0,0,0) , (0,0,1) , (0,1,0) , (0,1,1) , (1,0,0) , (1,0,1) , (1,1,0) , (1,1,1)

Il Quattro-Cubo che alcuni chiamano Ipercubo vive nello spazio a 4 dimensioni. Senza nessuna difficoltà si può definire il Quattro-Cubo come l’insieme delle quaterne ordinate di numeri reali (x,y,z,w) per le quali:
0 < x < 1
0 < y < 1
0 < z < 1
0 < w < 1
Qualcuno, tenta di realizzare l’ipercubo nello "spazio fisico" a tre dimensioni e prova a fare come si fa col cubo quando lo si vuole rappresentare in un piano. Realizza due cubi: uno grande in "primo spazio" trasparente dentro il quale ne mette un secondo più piccolo e lo immagina fuori, in un "secondo spazio" poi collega i due cubi con altri 6 cubi che nella rappresentazione tridimensionale sono diventati un poco trapezoidali ma che egli continua a immaginare come fossero cubi. Ben povera questa rappresentazione del Quattro-Cubo anche se, a ben guardare, girandogli intorno, come si può fare all'ingresso del nostro dipartimento, si ritrovino i suoi 8 Cubi, i suoi 24 Quadrati i 32 Spigoli e i 16 Vertici da cui è formato.

Un esempio, invece, di superficie nella quarta dimensione è La bottiglia di Klein

Sì può avere una rappresentazione visiva della costruzione della bottiglia di Klein cliccando quì.

La bottiglia di Klein è un esempio molto interessante di superficie a una sola faccia che è una superficie chiusa, cioè "priva di contorno". Purtroppo questa superficie ha il suo ambiente naturale in uno spazio a quattro dimensioni e quindi non è possibile darne una corretta nel nostro spazio geometrico a tre dimensioni. Se però ci accontentiamo di uno "schiacciamento" di questa superficie in modo da poterla incapsulare nello spazio a tre dimensioni, allora ci sono varie rappresentazioni, che in ogni caso rendono evidente la proprietà di questa superficie di avere una sola faccia e di essere chiusa: come già succede se vogliamo schiacciare il nastro di Möbius nello spazio a due dimensioni questo "schiacciamento" produrrà delle "complicazioni", in questo caso una intersezione della superficie con se stessa.

Anno Accademico

Per capire meglio la quarta dimensione.