Esempio della cioccolata (significato della somma di una serie infinita)

Consideriamo un tipo di cioccolata che gli industriali cercano di lanciare sul mercato, mettendo un buono nella confezione; chi presenta 10 buoni ottiene in cambio un’altra tavoletta di cioccolata. Se abbiamo una di queste tavolette, qual è il suo effettivo valore?
Vale di più di una semplice tavoletta, perché in essa vi è un buono e per ogni buono si può ottenere 1/10 di un’altra tavoletta di cioccolata. Con 10 buoni si può ottenere una tavoletta intera. Ma con questo 1/10 di tavoletta si avrà 1/10 di buono e se per un buono otteniamo 1/10 di una tavoletta di cioccolata, per 1/10 di buono otteniamo 1/100 di una tavoletta di cioccolata.
Quindi 1/100 di una tavoletta di cioccolata corrisponde a 1/100 di buono e con questo otteniamo ancora 1/10 di 1/100, cioè 1/1000 di una tavoletta di cioccolata, e così via, all’infinito. Quindi la mia tavoletta di cioccolata insieme con il suo buono vale in realtà:
1+1/10+1/100+1/1000+ ... tavolette di cioccolata

Possiamo mostrare che:
1+110 +1100 +11000 + ... tavolette di cioccolata vale esattamente 1+1/9 di una tavoletta di cioccolata.
L’1 rappresenta la tavoletta che ho effettivamente e si deve mostrare che il buono che l’accompagna vale 1/9 della tavoletta di cioccolata.
È sufficiente dimostrare che 9 buoni valgono una tavoletta di cioccolata, dato che allora è certo che un buono vale 1/9 della tavoletta.
Poniamo che io abbia raccolto 9 buoni, allora posso entrare nel negozio e dire: «Mi dia una tavoletta di cioccolata, la mangio qui adesso e la pago dopo». Mangio la cioccolata, tolgo il buono che l’accompagna e così ho 10 buoni con cui posso effettivamente pagare. Quindi l’esatto valore di 9 buoni è in realtà una tavoletta di cioccolata; il valore di un buono è 1/9 di una tavoletta di cioccolata. Una tavoletta di cioccolata con un buono vale 1+1/9 tavolette di cioccolata, così la somma della serie infinita
1+1/10+1/100+1/1000+ ... è esattamente 1+1/9
1+1/9=9/9+1/9=10/9=1,1111111111111 ... all’infinito
La successione delle somme parziali 1,11 ... =1+1/10+1/100+ ... ha come limite 1+1/9
Si può dire anche che la serie
1+1/10+1/100+ ... è convergente e che la sua somma è 1+1/9.

Anno Accademico

Esempio della cioccolata (significato della somma di una serie infinita)