L’Albergo Infinito di Hilbert

Conosciuta anche con il nome di Paradosso del Grand Hotel, questa storiella attribuita al grande matematico tedesco David Hilbert mostra alcune caratteristiche del concetto di infinito, e le differenze fra operazioni con insiemi finiti ed infiniti.
Hilbert immagina un hotel con infinite stanze, tutte occupate, ed afferma che qualsiasi sia il numero di altri ospiti che sopraggiungano, sarà sempre possibile ospitarli tutti, anche se il loro numero è infinito.
Nel caso semplice arriva un singolo nuovo ospite. Il furbo albergatore sposterà tutti i clienti nella camera successiva (l’ospite della 1 alla 2, quello della 2 alla 3, ...); in questo modo, nonostante l’albergo fosse già pieno, è comunque possibile sistemare il nuovo ospite, proprio perché infinito.
Un caso meno intuitivo si ha quando arrivano infiniti nuovi ospiti. Sarebbe possibile procedere nel modo visto in precedenza, ma solo scomodando infinite volte gli ospiti (già spazientiti dal precedente spostamento): sostiene allora Hilbert che la soluzione sta semplicemente nello spostare ogni ospite nella stanza con numero doppio rispetto a quello attuale (dalla 1 alla 2, dalla 2 alla 4, ...), lasciando ai nuovi ospiti tutte le camere con i numeri dispari, che sono essi stessi infiniti, risolvendo dunque il problema. Gli ospiti sono tutti dunque sistemati, nonostante lalbergo fosse già pieno.
Ancora più difficile: ci sono infiniti alberghi con infinite stanze tutti al completo. Tutti gli alberghi chiudono, tranne uno. Tutti gli ospiti vogliono alloggiare nell’unico albergo rimasto aperto. Sarebbe possibile procedere come prima, ma solo scomodando infinite volte gli ospiti. Un modo alternativo è quello di assegnare ad ogni persona una coppia di numeri (n,m) in cui n indica l’albergo di provenienza, e m la relativa stanza. Gli ospiti sono quindi etichettati in questo modo:

(1,1)	(1,2)	...	(1,m)	...
(2,1)	(2,2)	...	(2,m)	...
...	...	...	...	...
(n,1)	(n,2)	...	(n,m)	...
...	...	...	...	...

A questo punto basta assegnare le nuove stanze agli ospiti secondo un criterio ordinato, ad esempio per diagonali:
(1,1)->1; (2,1)->2; (1,2)->3; (3,1)->4; (2,2)->5; (1,3)->6;...
Questo paradosso, nonostante sia piuttosto elementare, aiuta a far comprendere la differenza profonda e sostanziale tra gli insiemi finiti e infiniti.
Esistono alcuni racconti che ripropongono una versione narrativa del paradosso. Uno di questi è l’Hotel Straordinario di Stanislaw Lem.

Anno Accademico

L’Albergo Infinito di Hilbert