Achille e la Tartaruga

Supponiamo che Achille viaggi a velocità doppia rispetto a quella della tartaruga ma che parta con un metro di svantaggio; quando Achille avrà percorso 1/2 metro arrivando al punto di partenza della tartaruga, la tartaruga è andata avanti di 1/8, e così via all’infinito, con un distacco che diminuisce sempre di più ma non si esaurisce mai.
Quindi, secondo Zenone, benché la velocità di Achille sia doppia rispetto a quella della tartaruga, non riuscirà mai a raggiungerla, in quanto la somma di infiniti spazi (sebbene sempre più piccoli) è infinita.
Come facciamo a calcolare il percorso di Achille? Esso è dato da infiniti tratti che costituiscono la successione: 1/2, 1/2+1/4=3/4, 3/4+1/8=7/8 ... dove l’n-esimo elemento della successione è ((2^n)-1)/2^n. Tale successione per n che tende all’infinito, non tende all’infinito, bensì a 1: ha per limite 1, numero determinato e finito. I percorsi che via via Achille deve compiere per arrivare al posto lasciato dalla tartaruga che arranca coraggiosamente in avanti a velocità dimezzata, sono misurati dalla successione di numeri: 1/2,1/2^2,...,1/2^n,... Se chiamiamo s_n la somma dei primi n tratti percorsi da Achille, s_n, per quanto grande sia n, non supera mai 1, numero al quale si avvicina sempre più.

Anno Accademico

Achille e la Tartaruga