Divulgazione e Museologia della Matematica

I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all’infinito di uno stesso motivo in scala sempre più ridotta. Questa è la definizione più intuitiva che si possa dare di figure che in natura si presentano con una frequenza impressionante, ma che non hanno ancora una definizione matematica precisa. L’atteggiamento corrente è quello di considerare frattale un insieme F che abbia proprietà simili alle quattro elencate qui di seguito:
1. Autosimilarità.
2. Struttura fine: F rivela dettagli ad ogni ingrandimento.
3. Irregolarità.
4. Dimensioni di autosimilarità > della dimensione topologica.
In geometria gli oggetti che sono autosimili vengono definiti frattali e possono essere costruiti seguendo precise regole di tipo matematico. La geometria dei frattali è stata inventata nel 1975 dal grande matematico francese di origini polacche Benoit Mandelbrot, deriva dal latino "Fractus" che significa interrotto, irregolare. Un frattale F è unione di un numero di parti che, ingrandite di un certo fattore, riproducono tutto F; in altri termini F è unione di copie di se stesso a scale differenti. La curva a fiocco di neve di von Koch è un esempio di frattale semplice nata come esempio di curva priva di tangente in alcun punto:

si prende un segmento (lungo 3 unità) e lo si taglia in 3 parti

si sostituisce quella centrale con due segmentini uguali a quello eliminato ottenendo una lunghezza pari a 4/3 .

Ora si ripete l’operazione con ciascuno dei quattro segmenti così ottenuti ottenendo una lunghezza di 4/3 4/3

si continua a ripetere il procedimento per un numero infinito di volte.

La curva che si ottiene dopo un numero infinito di iterazioni è una curva frattale. Come tutte le curve frattali è dotata di affascinanti proprietà matematiche, facili da intuire ma, spesso, difficili da dimostrare. La sua lunghezza è 4/3 moltiplicato p volte cioè infinita quando p aumenta all’infinito. Le curve frattali hanno queste caratteristiche comuni:

pur essendo continue non ammettono una tangente unica in alcun punto;

presi due punti della curva, anche vicinissimi tra loro, la distanza fra essi (misurata lungo la curva) è sempre infinita.

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