Divulgazione e Museologia della Matematica

Il termine simmetria risale al tempo dei Greci e indicava in origine una "commisurazione numerica" che permetteva di porre in rapporto due o più elementi diversi. Questo significato del concetto di simmetria lo si trova all’inizio del X libro degli Elementi di Eucide (325-265 a.C): "commensurabili si chiamano le grandezze che sono misurate a una stessa misura, incommensurabili quelle grandezze, delle quali non si trova alcuna misura comune". La simmetria ha quindi nella cultura greca un significato diverso da quello attuale, è legato ai concetti di proporzione e armonia e i Greci applicarono questa nozione all’estetica, alla politica e all’etica. Nel mondo latino il concetto di simmetria si duffuse grazie al trattato "De Architettura" di Vitruvio (70-23 a. C): " la simmetria …consiste nell’accordo armonico delle parti dell’opera stessa e nella loro corrispondenza fra ciascuna di parte presa e la configurazione complessiva". Secondo questo punto di vista, possiedono la stessa simmetria due statue, una alta otto metri e l’altra alta ottanta centimetri che hanno, rispettivamente la prima la testa della lunghezza di un metro e la seconda la testa della lunghezza di dieci centimetri: per entrambe vale lo stesso rapporto numerico 8:1 tra la grandezza complessiva e la grandezza di una determinata parte ( in questo caso la testa). Nel mondo moderno, la simmetria si basa, invece, su un "rapporto di uguaglianza" tra parti contrapposte che sono quelle che si corrispondono specularmente rispetto ad un asse ( o a un piano): esempio le parti destre e sinistre se l’asse è verticale, alte e basse se l’asse è orizzontale. La nozione di simmetria in senso matematico è quindi strettamente connessa alla "uguaglianza delle parti". In questo modo, una figura si può definire simmetrica se non cambia quando le parti uguali che la compongono sono trasformate le une nelle altre. È importante notare che il tipo di simmetria che caratterizza una figura dipende dal tipo di operazione (o trasformazione) che lascia invariata la figura stessa. Una figura può avere:

Simmetria per riflessione se è invariante rispetto a operazioni di riflessione Tale simmetria si suddivide in simmetria assiale e bilaterale. Si dice simmetria assiale di asse r la trasformazione T (o corrispondenza biunivoca) dei punti del piano che associa a un puto P il punto P’ tale che la retta r sia asse del segmento PP’.

Ogni simmetria assiale conserva la distanza tra due punti qualsiasi; quindi è una isometria (dal greco Iso = uguale, metron = misura, "uguaglianza di misura"). La simmetria bilaterale (o simmetria a specchio) è analoga alla simmetria assiale in questo caso la simmetria è analizzata non più rispetto a un asse di simmetria ma rispetto un piano.
Simmetria per rotazione se è invariante rispetto a operazioni di rotazione.
Si basa sul concetto di rotazione. Si definisce rotazione r di centro O, individuata dall’angolo orientato a, la trasformazione T tra i punti del piano che, al punto O associa il punto stesso e a ogni punto A associa il punto A’ tale che l’angolo AOA’ sia congruente e concorde ad a, e i segmenti OA e OA’ siano tra loro congruenti.
Simmetria di traslazione se è invariante rispetto a operazioni di traslazione Tale simmetria si basa sul concetto di traslazione. La traslazione (deriva dal vocabolo latino traslatio-onis che indica l’atto di trasferire un oggetto da un luogo ad un altro) è una trasformazione dei punti del piano che porta il segmento AB in un segmento A’B’ in modo che i vettori AA’ e BB’ siano equipollenti, cioè stessa direzione, stesso verso e stressa intensità.

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