Oltre il NIM

Tutto è iniziato proponendo il gioco detto del NIM conosciuto anche dai ragazzi cinesi. Si gioca a coppie.

Si inizia col disporre file di 1, 3, 5, 7 ...fiammiferi (o segmenti). Ogni giocatore può togliere da un minimo di un fiammifero a tutti i fiammiferi purchè della stessa fila. Perde chi è costretto a togliere l'ultimo fiammifero.

Ho lasciato liberi i ragazzi di scegliere il numero di file, pertanto si è presentato il problema di sapere quanti fiammiferi sarebbero serviti e ci siamo così imbattuti nella somma dei numeri dispari successivi. Ho guidato i ragazzi a riordinare gli interrogativi, chiedendo loro di  sommare i primi 5 numeri dispari e poi i primi 8 numeri dispari e infine i primi 10 numeri dispari e scrivere le loro osservazioni

Ho colto qualche qualche difficoltà nella comprensione della consegna (qualcuno aveva sommato numeri dispari non consecutivi) allora ho chiesto

a) Succederà anche se sommo 5 numeri dispari qualsiasi?

b) Succederà anche se sommo i numeri dispari successivi dal 7 al 15 compresi?

Segue la discussione collettiva e si fa avanti l'ipotesi che per ottenere un quadrato perfetto devo sommare tutti i dispari a iniziare da 1.

Ma <perché> succede? Si fa osservare la rappresentazione dei quadrati perfetti e si comprende facilmente il risultato "curioso"

-la somma dei primi 3 numeri dispari è data da 1 + 3+ 5 = 3²

 -la somma dei primi 5 numeri dispari è data da 1 + 3+ 5+ 7 + 9 = 5²

-la somma dei primi 6 numeri dispari è data da 1 + 3+ 5+ 7 + 9 +10= = 6²

La somma dei primi n numeri dispari sarà 1 + 3+ 5+ 7 + 9 +11+ …..  = n²

E qualcuno nota anche che lo stesso numero quadrato si può ottenere anche in un altro modo

As esempio : 16 = 1+2+3+4+3+2+1

 1+2+1

1+2+3+2+1

1+2+3+4+3+2+1

(ennesima riga) 1+2+3+ …...n + (n-1) + …........... +3+2+1

In un momento successivo si potrà chiedere agli alunni, osservando questa scrittura, di risalire a una formula che permette di calcolare la somma dei primi n numeri naturali