Dopo Euclide: altri teoremi di geometria piana
Gli Elementi di Euclide hanno costituito le fondamenta della geometria elementare e dell'insegnamento della geometria per circa duemilatrecento anni. Si tratta tuttavia di una disciplina viva, alla quale anche nell'Età moderna e in tempi recenti sono state aggiunte parti, dimostrati nuovi teoremi, inglobate nuove teorie.
Gli Elementi di Euclide risalgono al 300 a.C. ed essi comprendono, in 13 libri, la geometria piana (primi 6 libri) con la teoria delle proporzioni (libro V), la geometria solida (libri XI-XII-XIII). I restanti libri (VII-X) sono dedicati all'aritmetica (teoria dei numeri) e agli irrazionali algebrici. Per quanto riguarda la geometria piana, vi sono contenute le seguenti teorie: la teoria del trasporto di segmenti e angoli, la teoria del confronto tra gli elementi di un triangolo o di due triangoli, la teoria della congruenza dei triangoli, la teoria delle perpendicolari, la teoria delle parallele, la teoria dell'area di un poligono per equiscomposizione, la teoria del cerchio e dei poligoni regolari inscritti e circoscritti, la teoria delle proporzioni e la teoria della similitudine. Per quanto riguarda la geometria solida, sono tradizionalmente aggiunti, nelle trattazioni di geometria elementare, anche risultati che si trovano nelle successive opere di Archimede, in particolare la misura del volume e della superficie dei solidi rotondi (cilindro e sfera) ottenuta col metodo di esaustione.
Di carattere superiore è la celebre opera di Apollonio, le Coniche, di cui ci sono pervenuti i primi quattro libri in greco, i successivi tre attraverso una traduzione araba di Thābit ibn Qurra, e l'ultimo è perduto.
Più tarda è l'opera di Pappo Alessandrino, Collezione Matematica in sette libri, che oltre alle dimostrazioni di lemmi precedenti, contiene dimostrazioni alternative e lemmi supplementari relativi a teoremi di Euclide, Archimede, Apollonio e Tolomeo, e nuove scoperte e generalizzazioni.
Euclide, Elementi, ca. 300 a.C.
Archimede, Misura del cerchio, Quadratura della parabola, Spirali, Sfera e cilindro, Conoidi e sferoidi (III sec. a.C.)
Apollonio, le Coniche (III-II sec. a.C.)
Pappo, Collezione matematica (320 d.C.)
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La geometria elementare, come noi oggi la intendiamo, è stata sinonimo di geometria fino alla fine del Settecento, quando la geometria cartesiana, che era considerata parte dell'analisi e dell'algebra, fu organizzata come disciplina autonoma. In ogni periodo della storia della matematica ci sono stati pertanto studi, ricerche e risultati riguardanti la geometria elementare, basti ricordare le rielaborazioni della teoria delle proporzioni ad opera della scuola galileiana, o la riflessione sui fondamenti che condusse alla creazione nel 1829 delle geometrie non euclidee ad opera di Lobačevskii.
Ora noi non ci soffermiamo sulla lunga storia della critica al postulato V e della teoria delle parallele, o della teoria delle proporzioni e delle grandezze incommensurabili, che sono temi ampiamente studiati e su cui la riflessione è nota. Portiamo piuttosto alcuni esempi di notevoli teoremi di geometria piana, non collocabili in un quadro organico generale, scoperti in tempi diversi e in contesti culturali differenti, e scelti per la loro facilità di comprensione che li rende accessibili ad uno studente di scuola secondaria.
Desargues, Teorema sui triangoli omologici (1648)
Pascal, Mysterium hexagrammaticum (1640)
Eulero, Retta di Eulero per i triangoli (1765)
Annibale Giordano, Generalizzazione di un teorema di Pappo (1788)
Monge, Centri di similitudine di tre cerchi (Géométrie descriptive, 1794-95)
Mascheroni, Bonaparte e la geometria del compasso (1797)
Gaultier, Teoria degli assi radicali (1813)
Brianchon, Poncelet, Feuerbach, Circonferenza dei nove punti (1820-22)
Dave e Dan, Suddivisione di un segmento in n parti (1997)
Per le dimostrazioni di alcuni teoremi classici di matematica elementare si può vedere:
Heinrich Dorrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, New York, Dovers Publications, 1965.
Inoltre fonti per la storia della matematica, articolata per discipline e per aree geografiche, e una cronologia si trovano in un sito web della Clark University (David E. Joyce):
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/mathhist.html,
che contiene anche una presentazione degli Elementi di Euclide on-line con figure interattive:
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html
Materiali per la scuola in "Il giardino di Archimede. Un museo per la matematica":
http://web.math.unifi.it/archimede/.