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Il teorema sui triangoli omologici

 

Girard Desargues, contemporaneo di Descartes, sviluppò i principi della geometria proiettiva (Brouillon projet, 1639). Messa in ombra dai successi della geometria analitica, l’opera di Desargues sarà riscoperta nell’Ottocento. Il teorema di Desargues sui triangoli omologici, tuttavia è contenuto in un'opera dell'incisore Abraham Bosse intitolata "Manière universelle de M. Desargues pour pratiquer la perspective".

Se in due triangoli ABC e A’B’C’, i vertici omologhi concorrono in un punto O (proprio o all’infinito) le rette dei lati omologhi si incontrano in punti allineati, e viceversa.

 

Configurazione di Desargues nel piano

con centro in un punto proprio

          

 

 

 

 

 

Configurazione di Desargues nello spazio

 

Configurazione di Desargues nel piano

con centro all’infinito

 

 

 

 

 

 

 

Configurazione di Desargues nel piano

con  lati  paralleli (retta all’infinito)

 

 

 

Dimostriamo il teorema in questo caso. Supponiamo che le rette congiungenti i vertici dei triangoli concorrano in un punto O e che due coppie di lati siano paralleli: ABA'B'  ,  ACA'C'  . 

Mostriamo che anche BC e B’C’ sono paralleli, allora P, Q, R, intersezioni dei lati corrispondenti, risulteranno allineati in quanto appartenenti alla retta all’infinito.

ABA'B' u/v = r/s      e      ACA'C' x/y = r/s          u/v = x/y BCB'C'

L’implicazione inversa si dimostra in modo analogo.

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R. Courant e H. Robbins, Che cos'è la matematica? Introduzione elementare ai suoi concetti e metodi, Torino, Boringhieri, 1950, (ed. or. 1941)