Archivio dei problemi

Archivio 1999-2000

Riassunto Anno 1999-2000: STUDENTI e SCUOLE

Elenco dei problemi già proposti
(selezionare per vedere i commenti completi):

Quali sono i polinomi P che soddisfano le seguenti condizioni, P(x+1) = P(x) + 1 e P(0) = 0?

Considera un rettangolo formato da tre quadrati. Dimostra che la somma degli angoli A e B in figura è 45 gradi.

Provare se, date tre rette parallele, esiste un triangolo equilatero con un vertice su ciascuna delle tre rette.

trovare le funzioni reali di variabile reale F che soddisfano la relazione F(x)F(y) - F(xy) = x + y.

considera i primi n numeri naturali: 1, 2, … n-1, n. Indica con S₁(n) la loro somma

S₁(n) = 1 + 2 + … + n.

1. Ricava, con almeno due procedimenti diversi, che

2. Indica poi con S₂(n) la somma dei quadrati

S₂(n) = 1 + 4 + … + n².

Ricava che

(FACOLTATIVO)
Trova quindi l’espressione per la somma S₃(n) dei loro cubi. E cosa puoi dire della somma S_k(n)?

Trova i quadrilateri di area massima inscritti in un'ellisse.
Puoi considerare prima il caso più semplice: qual e' il quadrilatero di area massima inscritto in una circonferenza?

Cosa hanno in comune i seguenti due problemi?
Devi piastrellare un pavimento (non necessariamente rettangolare) con piastrelle tutte uguali. Scegli di farlo con poligoni regolari. Che tipi di piastrelle puoi usare: triangoli equilateri, quadrati, pentagoni, esagoni...?
Quali sono i rettangoli con lati interi che hanno perimetro e area uguali?

Quale forma deve avere un polinomio P affinché:

$\begin{displaymath}1 - x^4 \leq P(x) \leq 1 + x^4 ?\end{displaymath}$