ProbleMATEMATICAmente - APRILE 2000

Il testo del problema:

  1. Cosa hanno in comune i seguenti due problemi?
  2. Devi piastrellare un pavimento (non necessariamente rettangolare) con piastrelle tutte uguali. Scegli di farlo con poligoni regolari. Che tipi di piastrelle puoi usare: triangoli equilateri, quadrati, pentagoni, esagoni...?
  3. Quali sono i rettangoli con lati interi che hanno perimetro e area uguali?

Hanno partecipato:

Jacopo Stoppa risolve in maniera completa e corretta il primo problema anche se non mostra esplicitamente che quelle che studia sono tutte le tassellazioni regolari. E' infatti implicita l'osservazione che in una tassellazione regolare, il vertice di una piastrella puo' trovarsi solo in due situazioni

                    (A) a contatto con altri vertici

                    (B) a contatto con altri vertici e con un lato.

Anche Emanuele Spadaro, pur tralasciando il caso (B), dà una buona soluzione.

Quanto al secondo problema,  Stoppa ammazza le mosche con l'artiglieria pesante; Spadaro invece è stato sviato dalla nostra formulazione purtroppo ambigua dell'enunciato, e risolve correttamente il seguente problema:

esistono rettangoli non congruenti che hanno la stessa area e lo stesso perimetro?

Per quanto riguarda la connessione tra i due problemi (ristretta al solo caso (A)) citiamo la risposta del professor Tino Visigalli che ha partecipato, per divertimento:

Ogni angolo interno di un poligono regolare di n lati misura (n-2)/n angoli piatti.Perchè un pavimento sia ricoperto perfettamente da mattonelle a forma di poligono regolare è necessario che un numero intero (diciamo k) di angoli interni copra esattamente un angolo giro.
Ciò significa che, se p denota un angolo piatto, kp(n-2)/n=2p. Semplificando, l'equazione conduce a kn=2(k+n).
Quest'ultima è esattamente l'equazione che si trova se si vuole che l'area di un rettangolo di lati k ed n sia uguale al suo perimetro.
Per trovare le soluzioni intere e positive dell'equazione si può ragionare così: trovo k=2n/(n-2) e riporto in un grafico k in funzione di n.
Si trova facilmente che le uniche tre soluzioni a componenti intere dell'equazione sono: (6,3), (4,4), (3,6).

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