ProbleMATEMATICAmente - Problema di Novembre 1999
Il testo del Problema:
Considera un rettangolo formato da tre quadrati. Dimostra che la somma degli angoli A e B in figura è 45 gradi.
COMMENTO
Il problema di novembre era abbastanza semplice se affrontato con la trigonometria. L'interesse risiedeva nelle molte soluzioni geometriche diverse che si potevano trovare. Abbiamo ricevuto 28 risposte. Hanno risposto:
Giuliano Bertagna, Paolo Bertuzzo, Marzia Bocchino e Nadia Forti, 3°, LS "Pascal" di Merano, BZ
Davide Baldini, 4°BC, LS "Curbastro" dil Lugo, RA
Daniele Musiani e Giulio Minguzzi, LS "Curbastro" dil Lugo, RA
Maurizio Bonetti, 4°A meccanici, ITIS "Lirelli", Borgosesia, VC
Lorenzo Castellani, 4°A, ITIS "Pascal", Cesena, FO
Cristina Di Cola, 5°C, LS "Bafile", L'Aquila
Umberto Perinetti, 5°C, LS "Bafile", L'Aquila
Pietro Avanzini, 5°B, LS "Spallanzani", Reggio Emilia
Domizia Badodi, 3°A, LS "Spallanzani", Reggio Emilia
Andrea Tortoli, 4°B elettronici, ITIS "G. Ferraris", San Giovanni Valdarno, AR
Antonella Gianese, 5°Cp, Liceo Sociopsicopedagogico "Cairoli", Pavia
Riccardo Monari, 3°C, LS "Tassoni ", Modena
Marco Quattrocchi, 5°A meccanici, ITIS "Lirelli", Borgosesia, VC
Amerigo Di Libero, LS "Vittorio Veneto", Milano
Alessio Palmero, 4°A, LS "Aprosio", Ventimiglia (IM)
Fabio Sebastiano, 5°B, LS "Einstein", Teramo
Le soluzioni che ci sono arrivate sono sostanzialmente di due tipi: quelle che usano la trigonometria (17) e quelle che ricorrono in genere alle similitudini tra triangoli (16), anche costruendone di nuovi.
Ci e' arrivata una soluzione un po' sorprendente ma interessante. L'autore calcola gli angoli, usando la funzione arcotangente. Purtroppo con questo metodo si arriva a una soluzione solo se gli angoli sono esatti e non approssimati. Pertanto non si può essere sicuri che la somma dia esattamente l'angolo cercato.
Le soluzioni trigonometriche proposte sono di due tipi. L'approccio più diretto studia la tangente dei due angoli in questione. Le risposte di questo tipo sono tutte corrette. A titolo di esempio proponiamo quella di Andrea Tortoli'. Le altre studiano seno e coseno (si veda quella di Alex Casadio). Una sola è sbagliata.
Le soluzioni geometriche (tutte sostanzialmente basate sullo studio di figure simili) si suddividono ancora in sei tipologie, l'una distinta dall'altra. Quelle che vengono citate nel seguito sono state scelte anche per la buona esposizione. Altre sono molto involute e celano errori.
Musiani e Minguzzi, con la loro prima soluzione, trovano due triangoli simili fra quelli formati dalle diagonali della figura. Poiché triangoli simili hanno angoli uguali, ricavano che l'angolo A+B e quello formato dalla diagonale del quadrato coincidono. Umberto Perinetti invece fonde un ragionamento goniometrico (trova un segmento la cui lunghezza e' proporzionale al seno di A+B) con lo studio della similitudine di opportuni triangoli.
Unico tra tutti, Mauro Zoffoli propone un approccio vettoriale che si basa esclusivamente sulla definizione del prodotto scalare.
Un certo numero di soluzioni si basano sulla seguente costruzione: si raddoppia il rettangolo affiancandogliene un secondo, vale a dire considera un rettangolo formato da tre per due quadrati. Con riferimento a questa figura, quindi, si riconosce un triangolo rettangolo isoscele. Fra tutte, si veda, ad esempio, quella di Giuliano Bertagna, Paolo Bertuzzo, Marzia Bocchino e Nadia Forti. Altri, per arrivare alla stessa dimostrazione, ricorrono a ragionamenti troppo complessi.
Due soluzioni, poi, prevedevano costruzioni "non canoniche". Una (quella di Domizia Badodi) si incentra sulle proprietà della bisettrice di un angolo. L'altra, di Jacopo Stoppa e Matteo Crepaldi, sfrutta il fatto che due angoli incidono sullo stesso arco di circonferenza.
In conclusione, viene da dire che il problema era effettivamente molto semplificato se affrontato con la trigonometria. D'altra parte, affrontarlo con tecniche puramente geometriche permetteva di percorrere una gran varietà di vie diverse, tutte interessanti.