ProbleMATEMATICAmente - Gennaio 2000

Il problema chiedeva:

Trovare le funzioni reali di variabile reale F che soddisfano la relazione:

F(x)F(y) - F(xy) = x + y.  

Abbiamo ricevuto 6 risposte, da:

• Davide Baldini, 4°BC, LS "Curbastro" dil Lugo, RA

• Emanuele Spadaro, 3°A, LS "Galilei", Catania
• Jacopo Stoppa, 5°, LS  "Galilei" Adria, RO

• Fabio Sebastiano, 5°B, LS "Einstein", Teramo

• Umberto Perinetti, 5° C del Liceo Scientifico "Bafile",

• LS "Pitagora", Rende (CS)

Una parte degli studenti ha considerato direttamente una possibile funzione come soluzione verificando che questa soddisfacesse la condizione data. Nessuno di questi ha però dimostrato che tale soluzione fosse unica, che non ne esistessero altre. Pertanto il ragionamento non è completo.

Altri hanno ricavato nuove condizioni che devono essere soddisfatte dalla soluzione (ad esempio, F(0)² - F(0) = 0) e quindi le hanno usate per semplificare la relazione iniziale (: F(0)F(x) - F(0) = x).

Delle tre soluzioni corrette (Sebastiano, Perinetti, Spadaro) riportiamo quella di Umberto Perinetti per la precisione della sua esposizione.

Altre soluzioni si potevano ottenere facendo analoghi ragionamenti per sostituzione. Ad esempio:

Soluzione 1:
ponendo y=1, si ottiene (1 - F(1))F(x) = x + 1, dalla quale segue che F(1) non è 1 (altrimenti sarebbe 0 = x + 1, per ogni x). Inoltre si ricava che (1 - F(1))F(0) = 1 e quindi F(0) non è nullo.

D'altra parte, dalla F(0)² - F(0) = 0, si ottiene  che F(0) = 1. Pertanto 1 - F(1) = 1 e F(x) = x + 1.

Soluzione 2:
ponendo x=-1 e y=1, si ha F(-1)(F(1) - 1) = 0. Ma F(1) non e' 1 e quindi F(-1) = 0.
Allora scelgo i valori -x e -1 e calcolo

-x -1 = F(-x)F(-1) - F(x) = - F(x)

cioè F(x) = x + 1.

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