ProbleMATEMATICAmente - MARZO 2000

Il testo del problema:

• Trova i quadrilateri di area massima inscritti in un'ellisse.

• Puoi considerare prima il caso più semplice: qual e' il quadrilatero di area massima inscritto in una circonferenza?

(Si accettavano anche risposte parziali. L'importante era affrontare il problema e saper dire qualcosa, anche se la soluzione non era completa.)

Sono arrivate cinque risposte da:

• Alessandro Leonardi della 5^G del LS "Pitagora" di Rende (CS)
• Giovanni Ponti della 5^H del LS "Pitagora" di Rende (CS)
• Emanuele Spadaro della 3^A del LS "Galilei" di Catania
• Jacopo Stoppa della 5^ sper. del LS "Galilei" di Adria (RO)
• Umberto Villa della 3^I del LS "Vittorio Veneto" (MI).

Un benvenuto a Giovanni Ponti che partecipa per la prima volta a ProbleMATEMATICAmente.

Per quanto riguarda le soluzioni, era facile per questo problema incorrere nell'errore di considerare solo alcuni quadrilateri particolari: non c'è motivo infatti per cui il quadrilatero debba essere simmetrico rispetto agli assi; e quindi non si poteva restringere lo studio al solo primo quadrante.
Così facendo, Ponti ha trovato in modo corretto due soluzioni, trascurando però tutte le altre.

Anche Villa ha seguito la stessa strada, utilizzando però due metodi geometrici che non coinvolgono le derivate.

Il nostro suggerimento (considerare la circonferenza) poteva aiutare ad evitare l'errore di cui sopra, osservando che nella circonferenza ci sono infiniti quadrati di area massima (e non uno solo, né due).

Questa via è stata seguita da Spadaro e Stoppa. La prima delle due soluzioni dà esplicitamente la costruzione del quadrato nella circonferenza e dei quadrilateri nell'ellisse. E' un peccato che, in conclusione, non ci sia qualche commento sulla natura dei quadrilateri trovati.

Ottima anche l'altra soluzione. Utilizza però matrici e determinanti (che forse non sono patrimonio di tutti) per i quali abbiamo quindi inserito una nostra nota.

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