Commento al problema di dicembre 1999
Il problema di dicembre 1999 chiedeva:
Provare se, date tre rette parallele, esiste un triangolo equilatero con un vertice su ciascuna delle tre rette.
Abbiamo ricevuto 10 risposte, da:
Davide Baldini, 4°BC, LS "Curbastro" dil Lugo, RA
Maurizio Bonetti, 4°A meccanici, ITIS "Lirelli", Borgosesia, VC
Fabio Sebastiano, 5°B, LS "Einstein", Teramo
Daniele Dallari, 5°C, LS "Tassoni", Modena
Andrea Barbieri, 5°G, LS "Tassoni", Modena
Alessandro Leonardi, Concetta Sottile, 5°G e Gianni Ponti, 5°H, LS "Pitagora", Rende (CS)
le classi quinte dell'ITIS "Galilei" di Alessandria.
Una considerazione va fatta preliminarmente perché è comune a molte delle soluzioni proposte. Sono stati svolti, in alcuni casi, ragionamenti che risultano incompleti perché non affrontano il nodo centrale della questione, vale a dire quando la soluzione esiste (se mai, qualche volta o sempre). Abbiamo infatti letto esposizioni che arrivano a un'espressione esplicita degli elementi del triangolo. Queste espressioni, però, dipendono da uno o più parametri e non viene studiato se questi parametri possono assumere tutti i valori possibili o solo alcuni.
Le soluzioni proposte sono sostanzialmente di quattro tipi. Il primo è caratterizzato da un approccio analitico. Si sceglie un riferimento cartesiano nel quale rappresentare le tre rette e si impone che i punti sulle tre rette siano tra loro equidistanti. Il limite di questo procedimento è che non si riescono ad evitare lunghi calcoli che richiedono tempo e rigore e quindi qualche soluzione risulta incompleta. Lungo questa via si e' inoltrato Davide Baldini, con la prima delle sue due soluzioni che e' da leggersi per il rigore dell'esposizione e per la scelta delle ipotesi che semplificano la trattazione).
La seconda famiglia offre un'interessante applicazione della trigonometria alla geometria del problema. Proponiamo di riferirsi alla figura ben costruita da Maurizio Bonetti e al testo di Andrea Barbieri che, implicitamente, mostra che la soluzione esiste sempre.
Il tentativo di fare una costruzione esplicita del triangolo è stata adottata da alcune persone, ad esempio da Emanuele Spadaro, la cui difficoltosa esposizione è, comunque, completa. Quella frettolosa di Matteo Crepaldi e Jacopo Stoppa è esposta con grande semplicità. Anche se non basta osservare il risultato di Cabri per studiare la natura dei luoghi geometrici, ma è necessario proporre una dimostrazione geometrica.
La costruzione di Fabio Sebastiano è, così come è esposta, sbagliata ma contiene l'idea geometrica più semplice e interessante. Pertanto è stata inserita con le dovute correzioni.
L'ultima soluzione tratta il triangolo equilatero come un corpo rigido che ruota trascinandosi dietro le tre rette, con un'idea dinamica della geometria di questo problema. Una soluzione arrivata analizza tortuosamente un caso particolare e studia in modo approssimativo la generalizzazione. Davide Baldini propone una soluzione (la sua seconda) che ha la bellezza dei ragionamenti semplici e diretti, senza per questo mancare di rigore
Un'ultima considerazione può offrire spunti per nuovi ragionamenti, al di là dell'attività di ProbleMATEMATICAmente. Nella formulazione del testo non era specificato se le tre rette erano o meno nel piano. Tutte le soluzioni pervenute affrontavano il problema come un problema di geometria piana. Potrebbe essere interessante ristudiarlo nello spazio.