ProbleMATEMATICAmente - Ottobre 1999

Il testo del problema:

Quali sono i polinomi P che soddisfano le seguenti condizioni:

P(x+1) = P(x) + 1         P(0) = 0  ?

Questo problema offriva la possibilità di studiare una questione sui polinomi affrontandola da punti di vista e da conoscenze anche molto diverse.
Ci sono pervenute risposte da quattro studenti:

• Umberto Perinetti della 5^ C del Liceo Scientifico "Bafile", L'Aquila;
• Davide Baldini del quarto anno del Liceo Scientifico "Ricci Curbastro", Lugo (RA);
• Jacopo Stoppa e Matteo Crepaldi, 5^ sperimentale del Liceo Scientifico "Galilei", Adria (RO).

Una via per risolvere il problema consiste nel ricordare che un polinomio di grado n ha n zeri.

Basandosi su questa osservazione Umberto Perinetti propone con precisione ed esattezza di linguaggio la sua soluzione. Anche Matteo Crepaldi ha percorso la stessa strada.

Se uno si fosse accorto che P(x) = x è una soluzione, il problema può riformularsi chiedendosi se P è unico o ce ne sono altri. Se P e Q sono due soluzioni si mostra (di nuovo per induzione) che P - Q ha infiniti zeri. Pertanto P e Q coincidono. Quindi la soluzione è unica.

Un'ulteriore alternativa è data dal considerare y = Q(x) = P(x) - x come il grafico di una funzione reale di variabile reale. Con un calcolo diretto si ottiene Q(x+1)  = Q(x). Vale a dire che Q è una funzione periodica.
Dal momento che Q è anche continua, è limitata. Ma gli unici polinomi limitati sono quelli costanti.
Pertanto, poiché Q(0) =  0, Q è il polinomio nullo. Il che significa che P(x) = x.

Delle due soluzioni pervenute una non è corretta in quanto lo studio del grafico non utilizza il fatto che P è un polinomio.
L'altra, asetticamente, annuncia che la soluzione è P(x) = x (il che è corretto). Solamente, esortiamo   tutte le persone che in futuro affronteranno i problemi di probleMATEMATICAmente a spiegare come si arriva alla soluzione.

Infatti i ragionamenti svolti sono sempre più interessanti e importanti del solo risultato.

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