ProbleMATEMATICAmente - MAGGIO 2000

Il testo del problema:

Quale forma deve avere un polinomio P affinché:

\begin{displaymath}1 - x^4 \leq P(x) \leq 1 + x^4 ?\end{displaymath}

Non sono pervenute risposte, pertanto presentiamo due nostre soluzioni.  

Soluzione 1

Se fai la sostituzione

A(x) = P(x)-1

il polinomio A soddisfa le due condizioni

\begin{displaymath}-x^4 \leq A(x) \leq x^4 \qquad \hbox{e} \qquad A(0) = 0.\end{displaymath}

In particolare la seconda è equivalente a scrivere A come

A(x) = x B(x).

Allora B verifica le disuguaglianze

\begin{displaymath}-x^3 \leq B(x) \leq x^3\end{displaymath}

Da queste segue che B(0) = 0 cioè

B(x) = x C(x).

Ripetendo questo ragionamento, ottieni

A(x) = x4 D(x)

e D deve essere costante. Pertanto si ha

P(x) = a x4 + 1

con a compreso tra -1 e 1.

Soluzione 2

Sostituendo nella diseguaglianza il valore 0 ottieni che P(0) = 1 il che significa che il termine noto è 1. Se ora dividi tutto per x4 e calcoli il limite all'infinito, ottieni

\begin{displaymath}- 1 \leq {{P(x)}\over{x^4}} \leq 1.\end{displaymath}

Quindi il grado di P è al massimo 4, altrimenti il limite non sarebbe finito. Con queste informazioni, P si scrive come

P(x) = ax4 + bx3+cx2 +dx +1.

Se ora calcoli che

\begin{displaymath}{{P(x) - 1}\over{x^4}} = a + {{bx^3+cx^2+dx+1}\over{x^4}}\end{displaymath}

ottieni la diseguaglianza equivalente

\begin{displaymath}-1-a \leq {{bx^3+cx^2+dx+1}\over{x^4}} \leq 1 - a.\end{displaymath}

Facendo il limite per x che tende a 0 della frazione, hai che

\begin{displaymath}\lim_{x \rightarrow \infty} {{bx^3+cx^2+dx+1}\over{x^4}} = \pm \infty\end{displaymath}

dove il segno è dato da quello di b, il che è assurdo, per cui deve essere b = 0. Analogamente si prova che sono nulli anche c e d. Pertanto P è della forma

P(x) = a x4 + 1

con a compreso tra -1 e 1.

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