Elenco dei problemi già proposti
(selezionare per vedere i commenti completi):
Dimostra che l'equazione x2 + y2 = zn
ha soluzione con x, y e z numeri naturali,
per ogni esponente n naturale. Se il problema ti pare difficile ecco un
suggerimento:
(Suggerimento: Risolvi il problema con n numero
pari).
Siano r ed s due rette.
Descrivi il luogo dei punti P tali che la somma delle distanze di P dalle due
rette sia minore o uguale a 1.
Possono essere proposte anche soluzioni
che riguardano casi particolari.
Presi 51 numeri distinti tra 1 e 100 inclusi, mostra che almeno uno di essi ne divide un altro.
Dato un triangolo ABC, acutangolo in A, sia AD l'altezza relativa a BC e siano E ed F i punti di incontro di AD con le bisettrici degli angoli ABC e BCA, rispettivamente. Dimostrare che, se BE è uguale a CF, allora il triangolo ABC è isoscele.
1) Se a, b, c sono numeri interi
dispari, dimostra che
ax^2 + bx + c = 0
non può avere soluzioni razionali.
2) Che cosa si può dire nel caso in cui uno o più coefficienti siano pari?
3) Che cosa si può dire
dell'equazione di terzo grado
x^3 + 2ax^2 + ax + b = 0
con a e b interi dispari?
Possono essere proposte anche soluzioni parziali.
Sia dato un pentagono (convesso)
ABCDE.
Le aree dei triangoli AED, EAB, ABC, CDE sono tutte uguali a 1.
Calcolare l'area di ABCDE.
All'interno del quadrato ABCD prendi un
punto E in modo che gli angoli ECB ed EBC siano di 15 gradi.
Dimostra che il triangolo ADE è equilatero.
Sia S un sottoinsieme dei numeri razionali con le seguenti proprietà:
È chiuso rispetto all'addizione (cioè, per ogni coppia x, y di elementi di S, anche x + y sta in S. ATTENZIONE: non è detto che S sia chiuso rispetto alla sottrazione)
È chiuso rispetto alla moltiplicazione (non alla divisione)
Per ogni numero razionale x è vera solo una delle tre possibilità:
x = 0
x sta in S
-x sta in S
Dimostrare che S è l'insieme dei numeri razionali positivi escluso lo zero.