Il problema di Marzo era:

Sia dato un pentagono (convesso) ABCDE.
Le aree dei triangoli AED, EAB, ABC, CDE sono tutte uguali a 1.
Calcolare l’area di ABCDE.

Sono arrivate due risposte, da parte di  

1. Jacopo D'Aurizio, 4A pni, LS Mattioli, Vasto (CH)
2. Enrico Tombetti, 4C, LS Leonardo da Vinci, Gallarate (VA),

che sono entrambe esatte e che propongono una costruzione esplicita della soluzione.

Se, come chiedeva in conclusione Jacopo D'Aurizio, anche il trangolo BCD avesse avuto area 1, il valore dell'area sarebbe stato totalmente determinato.

In questo caso per determinarlo, si può procedere così: poiché hanno la stessa area e la stessa base, i triangoli EDC e BCD devono avere la stessa altezza rispetto alla base DC. Ne segue che le rette EB e DC sono parallele. Allo stesso modo, tutte le diagonali risultano parallele ai lati opposti ad esse.

Indichiamo ora con P l'intersezione tra le diagonali EC e BD. Per quanto osservato, il poligono ABPE è un parallelogramma e EPB ha area 1.

Chiamiamo adesso x l'area di PDC:

area(PDC) = x

e con y l'area di BPC

area(BPC) = area(EDP) = y.

Si ottiene allora la doppia uguaglianza

area(EDP)/area(EPB) = DP/PB = area(PDC)/area(PCB)

y : 1 = x : y.

D'altra parte, per come abbiamo scelto x e y, abbiamo anche che x + y = 1. Risolvendo il sistema che abbiamo ottenuto, si ottengono e .

Per mezzo dei quali è facile calcolare che .

È interessante osservare che anche in questo caso (cioè quando l'area di tutti e cinque i triangolini vale 1) si può ottenere una costruzione di infiniti pentagoni che godano della proprietà data.

Si parte prendendo un triangolo PDC con area . Di questo rettangolo si prolungano i due lati PD e PC sino ai punti B ed E rispettivamente, in modo che i due triangoli EDC e BDC abbiano area 1. Quindi si traccia, per E, la parallela a BD e per B l parallela a EC. L'intersezione di queste due rette è il punto A.

A questo punto è facile verificare che il pentagono ABCDE gode della proprietà data.