ProbleMATEMATICAmente - Febbraio 2002
Il problema di febbraio era:
1) Se a, b, c sono numeri interi dispari, dimostra che ax^2 + bx +c = 0 non
può avere solizioni razionali.
2) Che cosa si può dire nel caso in cui uno o più coefficienti siano pari?
3) Che cosa si può dire dell'equazione di terzo grado x^3 + 2ax^2 + ax + b = 0,
con a e b interi dispari?
Abbiamo ricevuto un'unica soluzione da Jacopo D'Aurizio, 4A, LS Mattioli, Vasto (CH).
1) Jacopo affronta in modo corretto il problema:
Abbiamo l'equazione
[A] (2a'+1) x^2 + (2b'+1)x + (2c'+1) = 0
ponendo che questa equazione abbia una soluzione razionale x = p/q , con MCD(p,q)=1,
otteniamo
(2a'+1) p^2 + (2b'+1) pq + (2c'+1) q^2 = 0
dunque dev'essere necessariamente
[B] p^2 + pq + q^2 = 0 MOD 2
p e q devono essere quindi necessariamente ENTRAMBI PARI, contravvenendo
l'ipotesi iniziale MCD(p,q)=1. L'equazione [A] non ha dunque soluzioni
razionali.
La stessa soluzione si poteva semplificare dicendo che se p/q è una soluzione
con p e q coprimi, poichè si ha
ap^2 + bpq + cq^2 = 0
p e q non possono essere entrambi pari.
Se uno è pari e l'altro è dispati, nella relazione due termini sono pari e il
terzo è dispari: quindi la somma non può essere 0. Se sono entrambi dispari, la
somma di tre numeri dispari non può essere nuovamente zero.
In alternativa è possibile partire dalla classica formula risolutiva e osservare
che le soluzioni sono razionali se e solo se b^2 - 4ac è un quadrato perfetto,
che deve essere per forza dispari, dal momento che b è dispari.
Scriviamo quindi b^2 - 4ac = (2n+1)^2, dalla quale si ottiene
b^2 -1 = 4[n(n+1)+ac].
Siccome uno tra n e n+1 è pari, la parentesi quadra è dispari. Di conseguenza il
secondo membro è divisibile per 4 ma non per 8. Invece (b - 1)(b + 1) è
divisibile per 8 perchè uno dei due fattori è pari e l'altro è addirittura un
multiplo di 4. Contraddizione.
2) Per quanto riguarda il secondo punto era sufficiente esibire un
controesempio: ad esempio, x^2 - 2x + 1 = 0.
3) Anche per il terzo punto, riportiamo la risposta di Jacopo:
[E] x^3 + 2ax^2 + ax + b = 0
a= 2a'+1
b= 2b'+1
poniamo che questa equazione abbia una soluzione razionale x = p/q con MCD(p.q)=1
p^3 + 2 a p^2 q + a p q^2 + b q^3 = 0
p^3 + a p q^2 + b q^3 = 0 MOD 2
p^3 + p q^2 + q^2 = 0 MOD 2
da questa congruenza segue p=q=0 MOD 2, assurda poiché, per ipotesi, avevamo MCD(p,q)=1.
La [E] non ha dunque soluzioni razionali.