ProbleMATEMATICAmente - Novembre 2001

Il problema di Novembre era:

Siano r ed s due rette.
Descrivi il luogo dei punti P tali che la somma delle distanze di P dalle due rette sia minore o uguale a 1.

Possono essere proposte anche soluzioni che riguardano casi particolari.

Sono arrivate sei risposte:

1. Giampiero Caruso, 4A, LS Boggio Lera, Catania
2. Jacopo D'Aurizio, 4A, LS Mattioli, Vasto
3. Maurizio Melchiorre, appassionato di matematica
4. Enrico Tombetti, 4C, LS Leonardo da Vinci, Gallarate (VA)
5. Umberto Villa 5 I, Scuola Vittorio Veneto di Milano
6. Marco Sandano, 3B, LS Galilei, Adria (RO)

 Benvenuto Marco Sandano!

Le soluzioni pervenute, tutte molto interessanti, per quanto riguarda le rette incidenti, si possono dividere in due gruppi.

Villa e D'Aurizio scelgono un sistema di riferimento nel quale fanno un ragionamento trigonometrico.  Villa sfrutta il fato che le due bisettrici sono perpendicolari, mentre D'Aurizio usa direttamente r ed s come riferimento (non ortogonale). Peccato che la sua dimostrazione non sia completa.

Le tre soluzioni puramente geometriche, leggermente diverse tra loro, sono quelle di Caruso, Sandano e Tombetti, il quale espone con molta chiarezza anche il caso delle parallele.

Infine, notiamo che carognescamente non avevamo detto espressamente dove considerare il problema, se nel piano o nello spazio, proprio per vedere chi si accorgeva di quest'incompletezza.

Il problema era effettivamente da risolvere nel piano, essendo piuttosto difficile nello spazio.

Su questa generalizzazione ha lavorato Caruso, che trova il luogo quando le rette sono parallele nello spazio. I casi restanti, rette incidenti o sghembe, li lasciamo come problema aperto.