ProbleMATEMATICAmente - Maggio 2002
Il problema di Maggio era:
Sia S un sottoinsieme dei numeri razionali con le seguenti proprietà:
È chiuso rispetto all'addizione (cioè, per ogni coppia x, y di elementi di S, anche x + y sta in S. ATTENZIONE: non è detto che S sia chiuso rispetto alla sottrazione)
È chiuso rispetto alla moltiplicazione (non alla divisione)
Per ogni numero razionale x è vera solo una delle tre possibilità:
x = 0
x sta in S
-x sta in S
Dimostrare che S è l'insieme dei numeri razionali positivi escluso lo zero.
È arrivata un'unica risposta da Marco Zaro, 3A, LS Leonardo da Vinci, Gallarate (VA), purtroppo non corretta.
Una possibile soluzione del problema è la seguente:
Se 0 appartenesse a S, si avrebbe che anche 0 = -0 sarebbe un
elemento di S, cosa che non è possibile per la regola 3.
Se -1 appartenesse a S, allora (-1)(-1) = 1 sarebbe in S, ma anche questo non è
possibile, sempre per la 3. Quindi, deve essere che 1 sta in S.
Prendiamo ora un elemento s di S. Due sono i casi possibili, o 1/s sta in S o -1/s sta in S. Il secondo caso non può accadere, altrimenti avremmo che -1 = s (-1/s) sarebbe un elemento di S, cosa che abbiamo appena esclusa.
Quindi, 1/s è un elemento di S e, di conseguenza, tutti i razionali positivi sono compresi in S.
Per il viceversa, s un numero negativo r appartenesse a S, -r sarebbe un razionale positivo e apparterrebbe anch'esso a S, il che è assurdo.