ProbleMATEMATICAmente - Ottobre 2001
Il problema di ottobre era:
Dimostra che l'equazione
ha soluzione con x, y e z numeri naturali, per ogni esponente n naturale.
Sono arrivate otto risposte:
Bentornati e benvenuti!
Inanzitutto preghiamo, in futuro, tutti i partecipanti di preparare con cura la risposta e di mandarci un unico mail quando siete sicuri della vostra soluzione.
Notiamo, di passaggio, che non avendo escluso esplicitamente la possibilità di avere x, y, z null, sono possibili molte soluzioni banali: per esempio (0, 0, 0).
Dalle soluzioni arrivate, si possono evidenziare tre approcci diversi al problema
Approccio 1: Caracciolo, Melchiorre e Campigotto costruiscono esplicitamente le soluzioni separatamente per il caso pari (Caracciolo) e dispari (Campigotto).
Approccio 2: Urzì, Zaro e Tombetti generalizzano il caso pari dell'Approccio 1 e risolvono entrambi i casi, presentando, a partire da un'unica terna pitagorica, una soluzione per ciascun naturale n.
Approccio 3: D'Aurizio riconduce la soluzione del problema dato a quella del problema con esponente n-2.
Sfruttando questa stessa idea, era anche possibile provare il problema per induzione separatamente sui numeri pari e dispari:
per provare che l'equazione
ha sempre soluzione, il ragionamento per induzione è il seguente. La base dell'induzione è data dall'esistenza di tutte le terne pitagoriche che risolvono l'equazione con n=1.
Supponiamo allora che, per ipotesi induttiva, la soluzione esista per n=k, allora, per n=k+1, si ha
Allora, se (a, b, c) è una soluzione per n=k, (ac, bc, c) risolve quest'ultima equazione.
Per il caso dispari
Il ragionamento è analogo. Di fatti, la base dell'induzione, n=0, è ovviamente soddisfatta e la dimostrazione induttiva è la stessa che nel caso pari, si ha cioè che se (a, b, c) è una soluzione per n=k, (ac, bc, c) risolve l'equazione con n=k+1.
Una soluzione radicalmente diversa si ha sfruttando i numeri complessi:
sia z = a + ib, con a e b interi. Allora risulta
Scriviamo ora
Naturalmente, x e y sono interi perché a e b lo sono. Quindi si ha
