ProbleMATEMATICAmente 2003-2004

Soluzioni al problema di Gennaio 2004

Il problema di Gennaio 2004 era il seguente:

Dimostrare che, per ogni numero reale x (radianti), si ha:  cos(sinx) > sin(cosx).
 

Hanno inviato soluzioni (elencate per data di arrivo):

• Mario Di Dio, Classe V B del Liceo Scientifico "P. Farinato" di Enna;
• Andrea Bidoli, Classe V A del Liceo Scientifico "M. Grigoletti" di Pordenone;
• Anita Valieri e Sara Boaretti, Classe V H PNI del Liceo Scientifico "A. Roiti" di Ferrara;
• La Classe IV A PNI del Liceo Scientifico "P. Paleocapa" di Rovigo;
• Roberto Baccaglini, Classe IV A PNI del Liceo Scientifico "P. Paleocapa" di Rovigo.

Abbiamo anche ricevuto due interessanti soluzioni proposte dagli appassionati di problemi matematici:

• Andrea Pinamonti, Trento;
• Spartaco Spadon, Rovigo.

Commento

Nota bene: di seguito indicheremo il pigreco come pi - Selezionare i nomi dei solutori per scaricare il file PDF con la rispettiva soluzione

Tutte le soluzioni inviate sono corrette e complete.
Il problema riguardava le proprietà delle funzioni goniometriche ed è stato risolto sia con l'uso delle derivate che in modo più elementare. C'è chi ha anche usato la proprietà, valida per x reale (radianti) non negativo: x>=sinx (che comunque, per essere dimostrata, richiede l'uso delle derivate).

Mario Di Dio trasforma le due funzioni date cos(sinx) e sin(cosx) usando la proprietà cos(pi/2 - x)=sinx e poi le formule di prostaferesi. Trova due funzioni delle quali studia l'andamento, e in particolare i massimi e i minimi, con il metodo delle derivate.

Andrea Bidoli esamina le due funzioni date suddividendo l'intervallo [-pi, pi] in sottointervalli opportuni. Per x non negativo sfrutta la proprietà x >= sin x e le proprietà delle funzioni sinx e cosx, senza usare esplicitamente le derivate.

Anita Valieri e Sara Boaretti ragionano in modo analogo. Osservano inizialmente che sin(cosx) ha periodo 2pi mentre cos(sinx) ha periodo pi. Studiano poi la differenza delle due funzioni: cos(sinx)-sin(cosx), scoprendo che è una funzione sempre positiva di periodo 2pi. Il segno della funzione viene studiato osservando prima che la funzione è continua (in quanto ottenuta componendo funzioni continue) e che non interseca l'asse x.
Al termine della risoluzione, presentata senza far uso delle derivate, sono riportati i grafici - eseguiti con Derive - delle funzioni cos(sinx), sin(cosx) e della loro differenza cos(sinx)-sin(cosx).

Gli allievi della Classe IV A PNI del LS Paleocapa di Rovigo pongono inizialmente f(x):=cos(sinx) e g(x):=sin(cosx). Dimostrano che entrambe le funzioni sono pari, che f(x) ha periodo pi e g(x) ha periodo 2pi. Facendo uso di queste proprietà e di quelle elementari del sinx e cosx tra 0 e pi, illustrano le proprietà di f(x) e di g(x). Infine dimostrano che l'equazione f(x)=g(x) non ha soluzioni. Quindi, dopo avere citato la continuità delle funzioni f(x) e g(x), concludono che f(x)>g(x) per ogni x reale.
Al termine riportano i grafici di f(x) e di g(x) eseguiti con Derive.

Roberto Baccaglini, della stessa classe citata in precedenza, manda una sua soluzione diversa e più sintetica. Pone sinx=alfa e cosx=beta. Riscrive la disuguaglianza iniziale nella forma cos(alfa)>sin(beta), che equivale a sin(pi/2 - alfa)>sin(beta). Osserva poi che beta=cosx appartiene all'intervallo [-1, 1]. Da questa osservazione, facendo ricorso alla circonferenza goniometrica, ricava una disequazione che dimostra la relazione proposta.

Sono infine da citare anche le soluzioni inviate da Andrea Pinamonti e Spartaco Spadon, appassionati di problemi matematici.

Andrea Pinamonti osserva che la tesi equivale a dimostrare che cos(cosx)>sin(sinx). Per ottenere quest'ultima basta effettuare la sostituzione x -> pi/2-x.
Dimostra poi i seguenti passi:
1. cos(cosx)>0 per ogni x reale.
2. cos(cosx)>=sinx in [0, pi]
3. sinx>=sin(sinx) in [0, pi].
Sfruttando la periodicità delle funzioni in gioco e la simmetria, si arriva alla tesi.

Spartaco Spadon trova il periodo della funzione y(x):=cos(sinx) e quello della funzione z(x):=sin(cosx) e ricava le derivate delle due funzioni. Dimostra poi che in [0, pi/2] non si ha mai y(x)=z(x). Essendo y(x) e z(x) funzioni continue, si ha quindi che y(x)>z(x). La stessa relazione vale anche in [pi/2, pi].
Considerazioni analoghe permettono di completare la dimostrazione ragionando nell'intervallo [pi, 2pi].