Si vuole dimostrare che date tre rette parallele qualsiasi esiste sempre un triangolo equilatero con un vertice su ciascuna delle tre rette.

Si prenda per comodità un sistema di assi cartesiani in cui l’asse delle ascisse coincida con una delle due rette esterne; e si orienti l’asse delle ordinate con verso positivo nel semipiano dove giacciono le restanti due rette. Lavoreremo ora solo nel primo quadrante per comodità di calcoli.

Chiamiamo a la retta più distante dall’asse dalle ascisse, b quella più vicina. Le tre rette avranno perciò equazione:

Y0=0

Y1=a

Y2=b con a>=b>=0 Se a,b=0 il triangolo degenera in un punto.

Facciamo coincidere il vertice giacente sulla retta Y0 con l’origine O degli assi. Le coordinate dei vertici pertanto sono:

O(0, 0) A(Xa, a) B(Xb, b)

La tesi è dimostrata se le ascisse Xa e Xb, tali che soddisfano la condizione |OA|=|OB|=|AB|, esistono per qualsiasi valore di a e di b indicati nella condizione di partenza a>=b>=0.

|OA|^2= Xa^2 + a^2

|OB|^2= Xb^2 + b^2

|AB|^2= Xa^2 - 2XaXb + Xb^2 + a^2 - 2ab + b^2

I CONDIZIONE |OA|^2=|OB|^2

Xa^2 + a^2 = Xb^2 + b^2

Xb^2= Xa^2 + a^2 - b^2

Xb=±sqrt(Xa^2+(a^2-b^2)) Il valore sotto radice è sempre positivo in

quanto a>=b. Per quanto rigurda il più o meno escludiamo quest’ultimo perchè lavoriamo solo
Xb= +sqrt(Xa^2+a^2-b^2) nel primo quadrante.

II CONDIZIONE |AB|^2=|OA|^2 Semplificando e

Xa^2-2XaXb+Xb^2+a^2-2ab+b^2 = Xa^2+a^2 sostituendo in Xb il valore in funzione di Xa si ottiene:

-2Xa*sqrt(Xa^2+a^2-b^2)+Xa^2+a^2-b^2-2ab+b^2=0

2Xa*sqrt(Xa^2+a^2-b^2) = Xa^2+a^2-2ab C.d.E.: Xa^2+a^2-2ab>=0

Xa^2 >= 2ab-a^2

Elevando alla seconda entrambi i membri si ottiene:

3Xa^4-2Xa^2*(2b^2-a^2-2ab)-a^4-4a^2b^2+4a^3b =0

D/4= 4a^4+4b^4-8a^3b+12a^2b^2-8ab^3 = 2a^4+2b^4+2(a-b)^4 >=0 sempre

Si ottiene pertanto

Xa^2= (2b^2-a^2-2ab±sqrt(D/4))/3

Valutiamo ora l’esistenza di Xa^2 prima con il più poi con il meno

2b^2-a^2-2ab+sqrt(D/4)>=0

Risolvendo questa disequazione risulta a>=0 , b>=0

2b^2-a^2-2ab-sqrt(D/4)>=0

Questa disequazione risulta invece non accettabile.

Pertanto Xa = +sqrt((2b^2-a^2-2ab+sqrt(D/4))/3) Che esiste sempre con qualsiasi valore di a e b appartenenti a R+ +(0)

Abbiamo però ancora una condizione di esistenza da controllare: Xa^2>=2ab-a^2

2b^2-a^2-2ab+sqrt(D/4) >= 6ab-3a^2

sqrt(D/4) >= 8ab-2a^2-2b^2

sqrt(D/4) >= -2(a-b)^2 sempre verificata

Non essendoci quindi limitazioni ad a e b si ha che date tre rette qualsiasi esiste sempre un triangolo equilatero con un vertice su ciascuna retta.

c.v.d.

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