Date le tre rette parallele nello spazio (che chiamiamo r, s e t) si prenda un piano perpendicolare ad esse: si chiamino A, B e C le rispettive intersezioni tra il piano e le rette t, s e r e siano AB=c, AC=b e CB=a, e senza perdere di generalità supponiamo a>=b>=c.

Il problema si riduce nel trovare due punti D e E rispettivamente su r e t tali che EB=DB=ED e cioè posto DC=x e EA=y bisogna che sia verificato per il teorema di Pitagora il sistema

X^2+a^2=y^2+c^2 e x^2+a^2=(y-x)^2+b^2

dove x e y sono numeri reali positivi, perché per come abbiamo supposto a, b e c si ha che CD e EA giacciono sulla stesso semispazio rispetto al piano che abbiamo tracciato, e cioè y-x<y.

Risolviamo il sistema, ricavando x dalla prima

X=sqrt(y^2 + c^2-a^2) e sostituendolo alla seconda a^2=y^2-2xy+b^2 otteniamo ponendo k=a^2-c^2 e p=a^2-b^2 (si ha dunque k>p)

Y^2-2y *sqrt(y^2-k)=p da cui ordinando ed elevando a quadrato sotto la condizione che sia y^2³ k

                        Y^4-2py^2+p^2=4y^2 * (y^2-k)                  da cui

3y^4 + 2y^2(p-2k) – p^2=0  

e è un equazione biquadratica con due radici perY^2 una positiva ed una negativa perché qualunque sia il segno di p-2k si ha una variazione e una permanenza di segno (regola di Cartesio).

Tralasciando la soluzione negativa (i valori di y che a noi interessano sono reali) prendiamo quella positiva

Y^2=(2k-p+2sqrt(p^2-pk+k^2)/3 che è sicuramente accettabile perché è > di k (basta verificare che la disequazione 2k-p+2sqrt(p^2-pk+k^2)³ 3k è sempre vera).

Le soluzioni da noi cercate sono dunque la radice positiva di y^2 cioè

                     y=sqrt(2k-p+2sqrt(p^2-pk+k^2))                      e

x=sqrt(y^2-k)=sqrt(k-p+2sqrt(p^2-pk+k^2)).