Soluzione proposta da Emanuele
Spadaro
3°A, LS "Galilei", Catania
Per dimostrare che esiste almeno un triangolo equilatero che abbia i vertici su tre
rette parallele prese a caso, vedo prima cosa avviene se i vertici di un triangolo
equilatero sono attraversati da tre rette parallele, in modo tale che, scoperta una
proprietà caratteristica, possa essere capace di ricostruire le stesse condizioni date
tre rette parallele a caso.
Sia dato quindi un triangolo e tre rette parallele tra loro
(r, s, t) come nella figura, chiamiamo h la distanza tra le rette più vicine (r ed s) e d
quella tra le rette più distanti (s e t); e costruiamo anche le perpendicolari alle rette
r, s, t passanti per i vertici.
Chiamiamo x l'angolo LAC e quindi ricaviamo che CBK è
congruente ad (60°-x).
Detto l il lato del triangolo si possono ricavare dai triangoli
ALC ed BCK le seguenti formule trigonometriche:
l=d/senx ed l=h/sen(60°-x)
da cui
h/senx=d/sen(60°-x); h/d=senx/sen(60°-x)
Utilizzando la formula di sottrazione del seno si ha così
H/d=senx/(sen60°cosx-senxcos60°). Da cui se si tiene conto che sen60°=sqrt(3)/2
cos60°=1/2 e cosx=sqrt(1-sen^2x) si ricava: h/d=2senx/(sqrt(3-3sen^2x)-senx). Adesso
risolvendo quest'equazione rispetto senx si ha: (2d+h)senx=h*sqrt(3-3sen^2x) ed elevando a
quadrato dato che 3-3sen^2X>=0 per ogni x sen^2x=3h^2/4(d^2+h^2+hd) senx=sqrt(3h^2/4(d^2+h^2+hd)).
Ne deriva quindi che x=arcsen(sqrt(3h^2/(d^2+h^2+hd))) 1)
Abbiamo cosi trovato la relazione che persiste nel triangolo da noi considerato tra
l'angolo x e le due distanze h ed d.
Possiamo perciò sostenere in virtù del processo
inverso a quello finora fatto da noi che prese a caso tre rette parallele distanti h ed d,
e preso un punto A sulla retta r (quella esterna più vicina a quella mediana, s) e un
punto B su s tale che l'angolo rAB=x come nella 1);
si noti che i punti B possono essere
due; il vertice C del triangolo equilatero ABC giace su T, essendo t l'altra parallela.
Resta così dimostrato che esistono infiniti triangoli equilateri con i vertici su tre
rette parallele.