Lo studio delle simmetrie come trasformazioni geometriche risale agli anni settanta dell’Ottocento, quando Felix Klein (1849-1925) introdusse una visione unitaria della geometria in senso globale utilizzando il concetto di gruppo.
La nuova concezione di Klein ebbe origine dagli studi sulla teoria dei gruppi che, a partire dalle intuizioni di Lagrange, e poi dalle ricerche di Galois pubblicate da Liuoville, si era andata organizzando in una nuova branca algebrica, e che probabilmente Klein ebbe modo di approfondire nel corso di numerosi viaggi a Parigi.
Klein collaborò in alcune sue ricerche col matematico norvegese Sophus Lie (1842-1899), che era stato suo compagno di studi a Göttingen e il cui nome è rimasto legato alle trasformazioni di contatto da lui scoperte, e ai gruppi continui di sostituzioni sui quali scrisse un ponderoso trattato in tre volumi (1893).
Il concetto di gruppo è estremamente generale: i suoi elementi possono ad esempio essere numeri (come nell’aritmetica), o punti (come nella geometria), o trasformazioni (come nell’algebra e nella geometria); la sua operazione può essere aritmetica (come l’addizione e la moltiplicazione) o geometrica (come la rotazione attorno ad un punto o la traslazione) o più generalmente algebrica (la composizione di due applicazioni qualunque). Klein utilizzò le possibilità unificatrici del concetto di gruppo per caratterizzare le diverse geometrie che si erano sviluppate, con metodi e linguaggi differenti, nel corso del secolo.
La visione di Klein è illustrata nella prolusione che egli tenne ad Erlangen nel 1872, in occasione della libera docenza, ed è nota come Programma di Erlangen (Erlanger Programme). In esso una geometria è descritta come lo studio delle proprietà che sono invarianti rispetto ad un particolare gruppo di trasformazioni. Ad esempio la geometria euclidea del piano è lo studio delle proprietà che sono invarianti per trasformazioni ortogonali affini (traslazioni, rotazioni e simmetrie) del piano in sé. La geometria affine è lo studio delle proprietà delle figure che sono invarianti per trasformazioni affini (lineari affini a determinante ¹ 0), tra queste proprietà ad esempio vi è quella di trasformare una conica di un determinato tipo in una conica dello stesso tipo, la geometria proiettiva è lo studio delle proprietà che sono invarianti per trasformazioni proiettive, e così via.
In questo modo qualsiasi classificazione di trasformazioni in gruppi e sottogruppi diventa una classificazione delle diverse geometrie, consentendo anche di interpretare le geometrie non euclidee iperbolica ed ellittica, assieme alla geometria euclidea, nell’ambito della geometria proiettiva.
L’influenza del programma di Erlangen, dapprima limitata, divenne poi universale, caratterizzando l’impostazione generale di tutti i corsi universitari di geometria. Klein d’altronde svolse ininterrottamente per circa mezzo secolo attività di insegnamento e divulgazione esercitando un forte influsso sugli ambenti pedagogici a vari livelli. Nel 1886 Klein divenne professore all’Università di Göttingen che, così come era stato per l’Ecole Polytechnique all’inizio del secolo ad opera di Monge e Poncelet, era diventata il centro irradiante della geometria moderna, attraverso le ricerche di Gauss, Riemann e Klein.


Siano M un insieme qualunque, conveniamo di chiamare M spazio, i suoi elementi punti e un qualunque insieme di punti, figura. Un gruppo G di trasformazioni di M è un insieme di applicazioni biettive di M in M che si possono comporre ed invertire.
Diremo che la figura A è equivalente alla figura B se esiste una trasformazione di G che trasforma A in B, ossia che manda ogni punto di A in un punto di B e viceversa.
Poiché G è un gruppo, si ha immediatamente che A è equivalente a se stessa (perché l’identità fa parte di G , e se A è equivalente a B, B è equivalente ad A (perché ogni elemento di G ha in G il suo inverso), e se A è equivalente a B e B è equivalente a C allora A è equivalente a C, perché G è chiuso rispetto alla composizione. Dunque valgono le proprietà fondamentali riflessiva, simmetrica e transitiva della relazione di equivalenza di figure.
Klein allora chiama geometrica ogni proprietà delle figure dello spazio M e ogni ente legato ad una figura che resti invariata per tutte le trasformazioni del gruppo G, vale a dire che sia comune a tutte le figure equivalenti.
Il sistema di proposizioni relative alle proprietà delle figure e degli enti invarianti per tutte le trasformazioni del gruppo G si chiama la geometria del gruppo G.


In generale, più il gruppo fondamentale di una geometria è esteso, meno è ricco in enti geometrici e in proprietà geometriche. Il fatto è evidente, poiché più le trasformazioni del gruppo sono numerose, meno si trovano relazioni o proprietà che sono invarianti per tutte queste trasformazioni. Le proprietà e le grandezze invarianti per un gruppo qualunque si rivelano ‘più stabili’ che le proprietà e le grandezze invarianti per un suo sottogruppo qualunque, poiché ‘resistono’ ad un maggior numero di trasformazioni.
Questo dà origine ad una gerarchia di gruppi e sottogruppi, e alle inclusioni inverse delle geometrie associate.
Per le trasformazioni geometriche elementari potremmo schematizzare i rapporti tra i vari gruppi di trasformazioni.



                                           



Attualmente, in tutti gli ordini di scuole, coesistono tre differenti approcci alla geometria: la geometria classica che ha le sue basi nella teoria assiomatica e trae origine dagli Elementi di Euclide, e che codifica ad un livello razionale ed astratto l’uso della riga e del compasso, la geometria delle coordinate che nasce dalla geometria cartesiana e quindi dalla introduzione dell’algebra nella trattazione dei problemi geometrici, e la geometria delle trasformazioni la cui impostazione teorica si trova nel programma di Klein.