ProbleMATEMATICAmente - Novembre 2001

Soluzione proposta da: Enrico Tombetti – 4a C - LS "Leonardo da Vinci" – Gallarate (VA)

Consideriamo per primo il caso in cui le rette sono parallele e d è la distanza tra esse. Si presentano allora tre possibili situazioni:

• d > 1 => non esiste alcun punto che soddisfi la condizione richiesta.
• d = 1 => per ogni punto delle due rette e per ogni punto della parte di piano compresa tra le due rette la somma delle distanze è pari ad 1. Non ci sono punti con somma delle distanze inferiore ad 1.
• d < 1 => tracciamo r’ parallela ad r, distante (1-d)/2 da r, nel semipiano non contenente s. Tracciamo s’ parallela ad s, distante (1-d)/2 da s, nel semipiano non contenente r. I punti delle rette r’ ed s’ hanno somma delle distanze pari ad 1. Tutti i punti della parte di piano compresa tra r’ ed s’ hanno somma delle distanze inferiore ad 1.

Consideriamo ora il caso più generale in cui r ed s sono incidenti.

Con riferimento alla figura allegata, tracciamo r’ ed r" parallele ad r, ognuna distante 1 da r. Analogamente tracciamo s’ ed s" parallele ad s, ognuna distante 1 da s.

Individuiamo così 4 parallelogrammi: notato che ciascuno di essi ha entrambe le altezze pari ad 1, essi risultano 4 rombi tra loro congruenti. Tracciate le diagonali AB, BC, CD, DA, esse, per le proprietà dei rombi, risultano bisettrici dei rispettivi angoli e perpendicolari tra loro. Il quadrilatero ABCD così individuato è dunque un rettangolo.

Preso sul lato BC un qualunque punto Q, da esso tracciamo la perpendicolare ad r. Essa intercetta r in K ed r’ in H. Poiché r’ dista 1 da r, avremo HQ + QK = HK = 1. Poiché i punti di una bisettrice sono equidistanti dai lati, avremo Q H1 = QH e quindi QK + Q H1 = 1. Questo vuol dire che la somma delle distanze di Q da r (QK) e da s (Q H1) è pari ad 1.

Analogo ragionamento può essere ripetuto per ognuno degli altri lati del rettangolo. Si può perciò concludere che il perimetro del rettangolo ABCD è il luogo dei punti tali che la somma delle distanze dalle due rette è uguale ad 1.

Osservando che, se avessimo tracciato r’, r", s’, s" considerando una distanza inferiore ad 1 avremmo ottenuto un rettangolo interno ad ABCD col quale ripetere la dimostrazione appena fatta, possiamo concludere che i punti interni allo stesso rettangolo ABCD sono il luogo in cui la somma delle distanze dalle due rette è inferiore ad 1.