ProbleMATEMATICAmente - Novembre 2001
Soluzione proposta da: Marco Sandano, 3B, LS Galilei, Adria (VE)
Siano r ed s due rette incidenti in un punto Z. Prendiamo P come punto
appartenente alla bisettrice dell'angolo AZB formato dalle due rette ed avente distanza uguale a 0,5 da entrambe le rette
(HP + PK=3D0, 5 + 0,5 = 3D1).
E' evidente che tutti i punti sulla bisettrice compresi tra P e Z avranno distanza minore di 0,5 sia da r che da s: infatti i triangoli HPZ e OTZ sono
simili, poiché hanno i 3 angoli corrispondenti isometrici, ed essendo ZO certamente minore di ZH per rapporto di similitudine anche TO è minore di
HP.
Tracciamo ora la perpendicolare alla bisettrice passante per P e prendiamo a caso su AB un punto P''. Tracciamo le distanze P''O e P''N dalle
rette r ed s.
I triangoli AHP, PKB, AOP'', NP''B sono simili, in quanto sono tutti triangoli rettangoli e gli angoli ZAB e ZBA sono isometrici,
poiché gli angoli AZP e PZB sono isometrici, come anche gli angoli ZPB e ZPA.
Allora ponendo:
AP=z, AP''=k, P''B=u, PH=x, P''O=y, PK=m, P''N=n
si possono formulare le seguenti proporzioni:
x : m = z : (k-z+u) e y : n = k : u
(x+m) :x = (z+k-z+u) : z e (y+n) : n = (k+u) : u
k+u = z(x+m)/x e k+u = u(y+n)/n
quindi:
z(x+m)/x = u(y+n)/n
nz(x+m) = xu(y+n)
ma nz = xu, perché u : z = n : x, poiché APH e P''BN sono chiaramente simili, quindi:
x+m = y+n, --> PH + PK = P''O + P''N
[…]
Quindi ogni punto del segmento AB ha somma delle sue distanze dalle rette r ed s uguale a 1.
Questo principio si può applicare nello stesso modo a tutti i punti del segmento PZ, ottenendo così il triangolo AZB, i cui punti hanno tutti somma delle distanze dalle rette r ed s minore o uguale a 1.
La dimostrazione non è valida solo per l'angolo AZB, ma anche per tutti gli altri tre angoli (AZW, WZD, DZB) individuati dalle due rette incidenti.
Infatti se tracciamo la bisettrice l di BZD, che è ovviamente perpendicolare alla bisettrice di AZB e quindi parallela ad AB, e conduciamo la perpendicolare ad AB per B, individuiamo così su l il punto F, le cui distanze FG e FJ da r e da s misurano entrambe 0,5.
Infatti i triangoli rettangoli FGZ e PKB sono isometrici, perché ZF=PB e PBZ=BZF, in quanto angoli alterni interni, rette parallele AB e l, trasversale r. Quindi FG=PK=FJ=PH. Così ragionando per tutti e quattro gli angoli si ottiene il rettangolo ABWD, che è il luogo dei punti P tali che la somma delle distanze di P dalle due rette sia minore o uguale a 1.
Se r ed s sono tra loro perpendicolari allora il luogo dei punti corrisponde a tutte le descrizioni sopra fatte ed, in più, si può dire che è un quadrato, infatti, in questo caso, i triangoli AZB, BZD, DZW, WZA sono isometrici tra loro e, quindi, AB=BD=DW=WA.