Il seguente paragrafo ha il carattere di un compendio sull’argomento, sviluppato con stile non tecnico: in particolare, anche i risultati vengono, per quanto possibile, giustificati, ma non dimostrati.
Consideriamo l’insieme delle trasformazioni del piano in sè ossia delle trasformazioni biettive, dotato dell’operazione di composizione.
Data una trasformazione del piano si dice “trasformato” del punto P il punto P’ orrispondente di P nella data trasformazione e si dice “trasformata” della figura F la figura F’ formata da tutti e soli i punti trasformati dei punti di F.
In particolare un punto o una figura si dicono uniti per la data trasformazione se hanno come corrispondenti se stessi.
Si dice trasformazione identica o identità la trasformazione che ad ogni punto del piano fa corrispondere il punto stesso, mentre si dice trasformazione inversa di una data trasformazione del piano quella che ad ogni punto Q associa Q’ se a Q’ corrisponde Q nella trasformazione considerata.
Una trasformazione del piano si dice involutoria o una involuzione se coincide con la sua inversa, ossia se composta con se stessa dà l’identità.

Un insieme di movimenti che “modificano poco” il piano è quello degli “spostamenti”, infatti rispetto ad uno spostamento due figure corrispondenti differiscono al più per la disposizione o la posizione occupata.
Non è difficile intuire che gli spostamenti del piano sono “slittamenti”,“rotazioni”, “ribaltamenti ” o loro composizioni.
Il concetto matematico che traduce il concetto intuitivo di spostamento è quello diisometria.
Le isometrie o movimenti rigidi sono quelle trasformazioni del piano che non mutano le distanze tra punti, cioè presi comunque due punti del piano P e Q, la loro distanza coincide con quella dei loro trasformati P’ e Q’.

Due figure che si corrispondono in una isometria si dicono isometriche.
Le isometrie godono di alcune proprietà che sono espresse dai seguenti teoremi.

Teorema. Ogni isometria trasforma una retta in una retta.

Osservazioni:

• si noti inoltre che ogni isometria mantiene il concetto di “essere compreso tra”, cioè se C appartiene al segmento di estremi A e B allora C’ appartiene al segmento di estremi A’ e B’
• ne consegue che per individuare la trasformata di una retta è sufficiente considerare i trasformati di due punti; un discorso analogo vale per semirette, segmenti, poligoni

Teorema. In ogni isometria, a rette incidenti corrispondono rette incidenti e a rette parallele corrispondono rette parallele.

Teorema. Ogni isometria trasforma un triangolo in un triangolo ad esso congruente.

Teorema. Ogni isometria trasforma un angolo in un angolo ad esso congruente.