ProbleMATEMATICAmente - Ottobre 2000

Il testo del problema di Ottobre 2000 era:

• Dato un triangolo T considera un rettangolo R inscritto che abbia area massima. Quindi dividi il triangolo in 16 triangolini T_i simili a T e uguali fra loro. In ciascuno di questi prendi un rettangolo R_i come sopra. Prova che l'area di R è la somma delle aree dei rettangoli R_i.
• In questo teorema ci sono delle ipotesi superflue, prova ad eliminarle.
• Più difficile: la stessa proprietà vale se al posto del rettangolo R consideri un'ellisse inscritta E.   Provalo.

Abbiamo ricevuto cinque risposte da:

• Alberto Cornia, Carpi (MO)
• Francesco Marino & Francesco Panizzoli, 3^ LC "Russell", Roma
• Enrico Tombetti
• Daniele Urzì, 3^{^}B, LS "G.Galilei", Catania
• Umberto Villa, 4^I, LS "Vittorio Veneto", Milano

Un bentornato a Villa e un benvenuto ai quattro nuovi partecipanti.
Per cortesia, vi preghiamo in futuro di indicare nome, cognome, classe, scuola e città nel testo del problema.

La prima parte del problema è stata affrontata da tutti, con alterne fortune.

Si poteva partire in alcuni modi diversi: Alberto Cornia ha ricordato che i rettangoli di area massima sono quelli che si ottengono con i punti medi del triangolo. Sarebbe stato meglio dimostrarlo, ma è un fatto abbastanza noto. In alternativa, poteva bastare dimostrare che l'area massima è la metà di quella del triangolo (così ha fatto Daniele Urzì). Poteva essere sufficiente osservare, anche senza determinare il rettangolo, che il valore dell'area massima deve essere unico.

Sui rettangoli di area massima inscritti in un triangolo, va anche notato che in genere sono tre, appoggiati uno su ciascun lato. Il rettangolo è unico solo se il triangolo è ottusangolo.

Un'altra buona dimostrazione è quella di Enrico Tombetti.

La seconda parte era, forse, la più complessa, dal momento che a scuola raramente ci si esercita sull'importanza delle ipotesi. Nessuna delle risposte, a questo proposito, è veramente soddisfacente. Alcune sono molto generiche. Solo due risposte propongono degli indebolimenti in modo corretto (anche se incompleto): Urzì nota (ma non dimostra) che i triangolini possono essere anche solo simili e non necessariamente uguali; Cornia elimina anche l'ipotesi che i triangolini siano 16 provando che il
risultato vale anche con N triangolini simili.

Un enunciato molto generale poteva essere: dato un triangolo T considera un rettangolo R inscritto che abbia area massima. Dividi il triangolo in N triangolini T_i qualsiasi. In ciascuno di questi prendi un rettangolo R_i come sopra. Allora l'area di R è la somma delle aree dei rettangoli R_i.

La dimostrazione si basa sul fatto chel'area del triangolo è sempre il doppio dell'area del rettangolo (come hanno notato Cornia e Tombetti). E quindi si ha Area(R) = 2 Area(T) = 2 {Area (T_1) + ... + Area(T_N)} = Area(R_1) + ... + Area(R_N).  c.v.d.

Per quanto riguarda la terza parte, quella sull'ellisse, solo Cornia ha proposto una soluzione corretta. Notiamo, che la sua dimostrazione è esatta solo assumendo l'ipotesi che i triangolini siano simili a T. Anche qui l'ipotesi della similitudine è superflua e il teorema più generale è il seguente: dato un triangolo, considera un'ellisse E inscritta che abbia area massima. Dividi il triangolo in N triangolini qualsiasi. In ciascuno di questi considera un'ellisse di area massima. Allora la somma delle aree delle ellissi piccole è l'area di E. 

Dimostrazione: dato il triangolo T considera una trasformazione affine che lo manda in un triangolo equilatero T'. Allora l'ellisse E viene mandata nell'ellisse E' di area massima (che quindi è una circonferenza). E' ha area massima dal momento che una trasformazione affine conserva il rapporto tra le aree. Pertanto anche il rapporto tra l'area dell'ellisse e l'area del triangolo è costante, k, e non dipende dal triangolo. Allora si puo` scrivere Area(E) = k Area(T) = k {Area (T_1) + ... + Area(T_N)} =
Area(E_1) + ... + Area(E_N).  c.v.d.

Nota: è interessante osservare che questa dimostrazione non funziona per provare la prima parte. Infatti, il rettangolo viene mandato dalla trasformazione affine in un parallelogramma. Se invece del rettangolo di area massima si considera un parallelogramma di area massima (e questi invece che tre sono infiniti), si ha ugualmente il teorema e la dimostrazione dell'ellisse vale. Ecco allora che anche l'ipotesi "rettangolo di area massima" può essere indebolita in "parallelogramma di area massima".
  
In conclusione, l'affermazione di Tombetti che "dividendo T in 16 triangolini tra loro uguali essi sono necessariamente simili a T" fa
pensare. Ad esempio, un triangolo equilatero può essere diviso in 2, 3, 6 triangoli uguali tra loro ma non equilateri. Che succede con 16? e in generale?

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