1. Orazio Federico Aiello, 4A pni, LS Boggio Lera, Catania
2. Michela Casellato, 4B pni, LS Galilei, Adria (RO)
3. Nicolò Crivellari, 4B pni, LS Galilei, Adria (RO)
4. Valentina Mantovan, 4B pni, LS Galilei, Adria (RO)
5. Davide Moretto, Mauro Piazzon, Paolo Sartori,  4A, LS Galilei, Adria (RO)
6. Alberto Cornia, 5B, LS Fanti, Carpi (MO)
7. Enrico Tombetti, 3C, LS Leonardo da Vinci, Gallarate (VA)
8. classe 2A, IPSSAR Artusi, Forlimpopoli.

Siamo contenti che di nuovo sia arrivata una soluzione elaborata da tutta una classe. Per di più una classe del biennio. Benvenuti!

Notiamo innanzitutto che per molti, di fronte a una dimostrazione intuitivamente semplice, riesce difficile riordinare le idee in maniera chiara. Alcune soluzioni si basano su buone idee ma sono scritte in modo confuso se non addirittura scorretto.

Anche l'uso del principio di induzione non è sempre appropriato: per mostrare che  numeri come 7(3n+1) e 3(7n+2) sono consecutivi è sufficiente calcolare la differenza!

Un'ultima considerazione preliminare è che per risolvere il problema era sufficiente esibire infinite coppie. Un passaggio ulteriore (e non richiesto) era trovare tutte le possibili coppie.

Veniamo ora alla soluzione vera e propria. Per il primo caso citiamo le soluzioni di Tombetti e di Cornia che sono sostanzialmente identiche, ma la prima è più completa e affronta tutti i casi mentre la seconda è più elegante. Interessante è anche la soluzione di Valentina Mantovan che è l'unica a considerare anche le soluzioni negative, estendendo così ulteriormente la soluzione del problema.

Molto semplice e accurata è l'esposizione della classe 2A.

Una soluzione diversa (estratta dal volume Vent'anni di gare matematiche, a cura della Mathesis e presente nella nostra bibliografia) è la seguente: dato il numero naturale n>1, uno solo dei tre numeri n-1, n, n+1 è divisibile per 3. Essendo 7 primo con 3, ogni suo multiplo 7k è divisibile per 3 se e solo se lo è k. Sia dunque n=7k un multiplo di 7, con k primo con 3. Non essendo n divisibile per 3, deve esserlo uno (e uno solo) dei due numeri n-1, n+1. Per ogni k primo con 3 si ha così una soluzione del nostro problema: queste sono poi infinite, essendo tali i possibili valori di k.

Infine si poteva ragionare anche come segue: sia n un multiplo di 7 (: n=7k), allora o n o n-1 o n+1 è un multiplo di 3. Le coppie cercate corrispondono ai casi in cui n non è multiplo di 3. Se le coppie fossero in quantità finita, da un certo punto in poi tutti i multipli di 7 sarebbero anche multipli di 3. E questo è falso.

Alla seconda parte del problema hanno risposto bene Musetto&Pizzon&Sartoti, la classe 2A e Tombetti.

Fuori tempo massimo è arrivata la risposta di Daniele Urzì che in via del tutto eccezionale inseriamo lo stesso perché tenta una generalizzazione."

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