ProbleMATEMATICAmente - Gennaio 2001
Soluzione proposta da: Daniele Urzì - classe 3aB, L.S. "G.Galilei" (Catania)
Dobbiamo dimostrare che esistono infinite coppie di numeri naturali
consecutivi (n; n + 1) divisibili il primo per 3 ed il secondo per 7.
Poniamo n = 3x e n + 1 = 3x + 1 ;
partendo da una coppia nota di tali numeri, cerchiamo di costruirne infinite
altre: per x = 2 si ottiene n = 6 e n + 1
= 7 , la coppia (6;7) soddisfa la proprietà stabilita.
Tutte le coppie (n; n + 1), con n >= 6, si possono esprimere
nella forma (6+3z ; 7+3z), con z >= 0. Sicuramente 6 + 3z
è divisibile per 3, ma affinché il suo successivo 7 + 3z sia divisibile
per 7 è necessario che entrambi i termini della somma siano multipli di 7,
perciò deve essere z=7v , (v >= 0).
Facendo la sostituzione si ottengono le infinite coppie di numeri naturali
consecutivi (6+21v ; 7+21v) che sono quelle cercate.
Se volessimo invece che n sia divisibile per 7 e n+1 per 3,
partendo dalla coppia (14;15), con il metodo esposto otteniamo le infinite altre
(14 + 21v ; 15 + 21v).
Se a 3 e 7 sostituiamo 6 e 15 il problema è impossibile: dovendo essere i
due numeri consecutivi, essi sono primi fra loro, cioè non hanno divisori
comuni oltre l'unità; ma se fossero l'uno divisibile per 6 e l'altro per 15,
avrebbero un divisore comune che è 3, e ciò è assurdo.
In generale, ritengo, ma non dimostro, che dati due numeri naturali a e b,
diversi da 0 e primi fra loro, esistono infinite coppie di numeri naturali
consecutivi divisibili l'uno per a e l'altro per b se esiste
almeno una coppia di tali numeri ( il problema sta nell'individuare una coppia
di questi numeri, poi con il procedimento esposto se ne possono ottenere
infinite altre ): ma quando a e b sono primi fra loro esiste
sempre almeno una coppia di questi numeri? Per quanto detto prima, se a e
b non sono primi fra loro il problema è impossibile.