ProbleMATEMATICAmente - Gennaio 2001
Soluzione proposta da: Enrico Tombetti, 3C, L.S. "Leonardo da Vinci", Gallarate, Varese
1) Un numero divisibile per 3 è del tipo: 3n con n(N
Un numero divisibile per 7 è del tipo: 7m con m(N
Affinché i due numeri siano consecutivi devono verificare una delle due condizioni seguenti:
1a) 3n+1 = 7m
1b) 3n-1 = 7m
Nel caso 1a:
n = (7m-1)/3
n = 2m + (m-1)/3
La condizione è soddisfatta per m = 1 + 3k con k(N. In tal caso:
n = 2(1+3k)+(1+3k-1)/3
n = 2 + 6k + k
n = 2 + 7k
Dunque tutte le coppie di numeri naturali consecutivi
3(2+7k) ; 7(1+3k) con k(N
soddisfano la condizione. Esse sono infinite quanto i valori di k
Il primo numero è divisibile per 3, il secondo per 7
Nel caso 1b:
n = (7m+1)/3
n = 2m + (m+1)/3
La condizione è soddisfatta per m = 3k -1 con k(N. In tal caso:
n = 2(3k-1)+(3k-1+1)/3
n = 6k - 2 + k
n = 7k - 2
Dunque tutte le coppie di numeri naturali consecutivi
7(3k-1) ; 3(7k-2) con k(N
soddisfano la condizione. Esse sono infinite quanto i valori di k
Il primo numero è divisibile per 7, il secondo per 3