ProbleMATEMATICAmente 2003-2004

Soluzioni al problema di Marzo 2004

Il problema Marzo 2004 era il seguente:

Dato un triangolo di base AB ed altezza h isometrica ad AB, dimostrare che l'ortocentro di tale triangolo è equidistante dal punto medio di AB e dalla retta parallela ad AB che dimezza h.

(proposto dal Prof. Spartaco Spadon)

Hanno inviato soluzioni:

• Andrea Bidoli, Classe V A del Liceo Scientifico "M. Grigoletti" di Pordenone;
• Giacomo Canevari, Classe II C del Liceo Scientifico "G. Aselli" di Cremona;
• Mario Di Dio, Classe V B del Liceo Scientifico "P. Farinato" di Enna;
• Ivano Lodato, Classe V A del Liceo Scientifico "P. Farinato" di Enna;
• Luca Pignata, Classe III Liceo Scientifico "B. Pascal" (in lingua italiana) di Merano (BZ).

Abbiamo anche ricevuto una soluzione proposta dall'appassionato di matematica:

• Andrea Pinamonti, Trento.

Commento
(selezionare i link all'interno del testo per scaricare le rispettive soluzioni in formato pdf)

Le soluzioni che abbiamo ricevuto sono di due tipi: sintetiche o analitiche.
Giacomo Canevari (classe II Liceo Scientifico) fornisce una soluzione corretta e completa di tipo sintetico. Esamina i tre casi che si possono presentare (triangolo acutangolo, rettangolo e ottusangolo) e dimostra in modo completo la tesi, usando la similitudine e il teorema di Pitagora. Dobbiamo fare i complimenti a Giacomo per l'ottima soluzione che ci ha inviato.
In modo analogo a Giacomo Canevari procede anche Ivano Lodato che tuttavia esamina solo un caso, quello in cui il triangolo dato e' acutangolo. La dimostrazione e' quindi incompleta.
Le altre soluzioni sono di tipo analitico e fanno uso del piano cartesiano con un opportuno sistema di coordinate ortogonali monometrico.
La migliore soluzione analitica è quella proposta da Mario Di Dio, che quest'anno ha partecipato quasi sempre alla nostra rubrica di problemi. Mario afferma subito che il luogo geometrico descritto dal baricentro dei triangoli ABC, aventi le caratteristiche richieste dal testo del problema, è una parabola. [In realtà qui si potrebbe osservare che si ottengono due parabole, tra loro simmetriche rispetto alla retta AB]. Fissa poi i punti A(-a, 0) e B(a, 0), con a>0, sull'asse x in modo che il punto medio M del segmento AB coincida con l'origine del sistema di assi cartesiani. Procede poi in modo ottimo e trova l'equazione della parabola descritta dall'ortocentro del triangolo ABC. Tale parabola ha come fuoco l'origine degli assi (il punto medio M del segmento AB) e per direttrice l'asse dell'altezza del triangolo.

Andrea Bidoli fornisce una soluzione analitica corretta, anche se fissa il vertice A nell'origine del sistema di assi cartesiani e il punto B in (2,0). Il punto C ha pertanto le coordinate (k, 2), con k reale qualunque. Dimostra quindi la tesi usando questi dati iniziali senza osservare (ma non era richiesto dal problema) che l'ortocentro del triangolo descrive una parabola di fuoco M (punto medio di AB) e direttrice - con i dati iniziali ricordati - la retta di equazione y=1.

Luca Pignata (classe III Liceo Scientifico) risolve il problema per via analitica, ma si mette subito in un caso particolare, fissando in modo numerico non solo le coordinate dei punti A e B (come si poteva accettare e come ha fatto anche Andrea Bidoli), ma anche le coordinate di C. Intuisce correttamente che esiste una parabola avente per fuoco il punto M (punto medio di AB) e per direttrice l'asse dell'altezza h, ma la soluzione non può essere accettata, appunto perché tutti i ragionamenti sono svolti per un particolare triangolo.

Anche Andrea Pinamonti (Trento) propone una soluzione analitica. In un sistema di assi ortogonali monometrico indica con (-a, 0) le coordinate del punto A, con (b, 0) le coordinate del punto B, con a e b numeri positivi. Fissa poi il vertice C nel punto (0, a+b). In questo modo, peroò, risolve il problema solo nel caso in cui il triangolo ABC sia acutangolo. La soluzione, quindi, pur essendo corretta, non ha carattere di generalità.