ProbleMATEMATICAmente - Ottobre 2001
Soluzione proposta da: Jacopo d'Aurizio e 4a - LS R.Mattioli - Vasto
Dimostriamo ora la risoluzione del problema con n=k può esser sempre ricondotta alla
risoluzione del medesimo con n=k-2
A) x^2 + y^2 = z^n
ponendo x=Xz y=Yz
B) X^2 + Y^2 = z^(n-2)
se quest'ultima equazione ha almeno 1 soluzione (X,Y,z) anche la A avrà almeno una
soluzione, in particolare nella forma (Xz, Yz, z)
Questo ci permette di affermare che per dimostrare la tesi basta dimostrare la verità
dell'enunciato
per i casi n=2 , n=1
n=2
x^2 + y^2 = z^2
sappiamo bene che questa ha infinite soluzioni primitive :
x = u^2 - v^2
y = 2uv
z = u^2 + v^2
con u e v numeri naturali, primi tra loro e non entrambi dispari
n=1
x^2 + y^2 = z
è abbastanza ovvio che un'equazione del genere abbia infinite soluzioni in N.