ProbleMATEMATICAmente - Dicembre 2000
Il problema era:
Il valore dell'area di un esagono regolare E è 1. Prolunga i lati dell'esagono fino a che si intersecano. Mostra che le sei intersezioni formano nuovamente un esagono regolare (detto esagono inviluppo). Quante volte bisogna ripetere l'inviluppo per ottenere un esagono la cui area valga almeno 2000?
Se al posto dell'esagono scegli un ottagono, quanti inviluppi servono?
Sono arrivate sette risposte:
La prima parte si poteva risolvere in due modi: calcolando il lato (oppure l'apotema) dell'esagono inviluppo oppure scomponendo l'inviluppo in triangoli equivalenti tra loro.
Per il primo metodo, riportiamo la soluzione di Enrico Tombetti che è ben esposta senza bisogno di figure, ma che curiosamente manca del calcolo per trovare il lato dell'esagono inviluppo, che si può fare così: se l è il lato dell'esagono di area 1 e l_1 quello dell'inviluppo, allora l_1= sqr(3)l.
Infatti con riferimento alla figura di Daniele Urzì
nel triangolo TSD, TD=DS=l e TS=l_1. Inoltre gli angoli valgono 120° e 30°. Allora TS=2TD cos 30°= TD sqr(3). Poiché le aree stanno tra loro come i quadrati dei lati, allora A_1=3A.
Per quanto riguarda l'identificazione di triangoli equivalenti, una buona esposizione è quella di Laura Nallin. Inoltre la Nallin è stata l'unica che ha dimostrato in modo completo che l'esagono inviluppo è regolare: infatti perché un poligono sia regolare è necessario che siano uguali tutti i lati e tutti gli angoli (condizione questa che nessun'altro ha esplicitamente verificato).
Per concludere che servono proprio 7 inviluppi per arrivare a un'area maggiore di 2000 facciamo riferimento alla soluzione di Orazio Federico Aiello.
Infine, un buon calcolo del lato dell'ottagono inviluppo è quello proposto da Alberto Cornia.