ProbleMATEMATICAmente - Dicembre 2000
Soluzione proposta da: Enrico Tombetti, 3C, L.S. "Leonardo da Vinci", Gallarate, Varese
1) Consideriamo il triangolo che ha come base un lato dell'esagono E e come
altri due lati i segmenti che congiungono gli estremi dello stesso lato con il punto intersezione dei prolungamenti dei due lati consecutivi in E.
Tale triangolo ha gli angoli alla base di 60° (sono angoli esterni dell'esagono)
quindi è equilatero.
Se ora prendiamo due di questi triangoli equilateri costruiti su due lati consecutivi di E e colleghiamo i vertici non in E otteniamo un nuovo
triangolo che è isoscele (i lati uguali sono congruenti al lato di E), con un angolo di 120° (è opposto al vertice di un angolo di E) e due angoli di
30°.
Si costruiscono così sei triangoli isosceli tra loro congruenti e le loro basi costituiscono l'esagono inviluppo.
Gli angoli interni di questo esagono sono tutti di 120° (30°+60°+30°) perciò esso è regolare. La sua base
misura SQR(3) volte il lato di E.
2) Visto che il lato dell'esagono inviluppo è SQR(3) volte il lato di E, la sua
area sarà (SQR(3))^2 , cioè 3, volte l'area di E.
Al secondo esagono inviluppo l'area sarà 3^2 = 9; al sesto inviluppo sarà 3^6 = 729; al settimo inviluppo
sarà 3^7 = 2187.
Bisogna dunque ripetere 7 volte l'inviluppo per ottenere un esagono la cui area valga almeno 2000.