ProbleMATEMATICAmente - Dicembre 2000
Soluzione proposta da:
Alberto Cornia, 5B, L.S. "Fanti", Carpi (MO)
Nel caso dell'ottagono, considero la 'stella' formata dall'ottagono di partenza e dai triangolini AA'B, BB'C, CC'D, ecc. (che sono tutti isosceli e rettangoli).
Considero poi i triangolini ottusangoli A'BB', B'CC', ecc. Se x è il lato dell'ottagono di partenza, ognuno dei cateti dei triangolini rettangoli (e quindi ognuno dei lati uguali dei rettangoli ottusangoli) misurerà x/sqrt(2).
Poiché l'angolo ottuso dei triangolini ottusangoli è 135°, col teorema di Carnot trovo che la base dei triangoli ottusangoli è x*sqrt(1+1/sqrt(2)), che è il lato dell'ottagono inviluppo.
Perciò il rapporto fra le aree degli ottagoni è 1+1/sqrt(2). Come nel caso precedente, l'area dell'n-esimo ottagono è (1+1/sqrt(2))^n.
Il primo valore per cui si supera 2000 è in questo caso 15 (l'area è circa 3044).