Soluzione al problema di Aprile 2000 proposta da
Emanuele Spadaro della classe 3A del liceo
scientifico "G.Galilei" di Catania.
2) Non esistono rettangoli differenti che hanno perimetro ed area uguali.
Infatti, procediamo per assurdo e supponiamo che esistano due rettangoli con uguale area e perimetro: si avrà perciò xy=k ed (x-a)(y+a)=k con x>=y, avendo i due fattori somma e prodotto uguali. Eseguiamo i calcoli della seconda relazione: si ha che xy+ax-ay-a^2=k, per cui essendo xy=k si ha che a(x-y-a)=0; quindi, o a è uguale a zero (e in questo caso i due rettangoli sono congruenti), o x-y-a=0 cioè x=y+a e y=x-a caso in cui le dimensioni del rettangolo sono invertite (restando il rettangolo sempre congruente). Quindi partendo dall’ipotesi che esistono due rettangoli diversi con area e perimetro uguali si giunge alla conclusione che sono congruenti, che è chiaramente un assurdo: e da qui è dimostrata la nostra tesi.