Soluzione al problema di Aprile 2000 proposta da:
Jacopo Stoppa -  Liceo Scientifico Statale G. Galilei - Adria, (RO).

Qual è la connessione fra i due seguenti problemi:

1. Che poligoni si possono piastrellare usando poligoni regolari tutti eguali fra loro ?
2. Quali sono i rettangoli con lati interi che hanno area e perimetro eguali ?

Per quanto riguarda la prima domanda, ci sono due risultati rilevanti

1. Se a è un angolo interno di un n-gono regolare, e 2p/a è un intero, allora n = 3,4 o 6. Ne segue che per n = 5, o n >= 7, non esiste una piastrellatura del piano R² che usa solo n-gono regolari della stessa forma e dimensione.

Prova. La somma degli n angoli interni è (n – 2) p. Se gli angoli misurano tutti a allora (n – 2) p = na, da cui

2p/a = 2n/(n – 2). Allora deve essere n = 3, 4, 6 se 2p/a deve essere un intero. Ora supponiamo che il piano sia piastrellato da n-goni regolari congruenti, e consideriamo un vertice v si una di queste piastrelle. Se v è un vertice di ciascuna delle k piastrelle che lo circondano, allora 2p = ka, da cui k è 3, 4 o 6 e n è, rispettivamente, 6, 4 o 3. Se, d’altra parte, v appartiene a una piastrella T di cui v non è un vertice, e ci sono altre m piastrelle incidenti in v, allora v è un punto interno di un lato di T e segue che p = ma. Ma a = p(n – 2)/n a dunque n = m(n – 2), il che implica che (n, m) sia (4,2) o (3,3).

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