Soluzione al problema di Aprile 2000 proposta da
Emanuele Spadaro della cllasse 3A del liceo
scientifico "G.Galilei" di Catania.
Risolvo prima i due problemi e poi dico cosa hanno in comune.
1) Gli unici poligoni regolari con i quali è possibile piastrellare una superficie sono i triangoli equilateri, i quadrati e gli esagoni: vediamo perché. Il problema di piastrellare una superficie equivale al problema di trovare quali angoli di poligoni regolari sono sottomultipli dell’angolo giro. Bisogna trovare perciò tutte le soluzioni naturali dell’equazione
k(1-2/n)180°=360° cioè k(1-2/n)=2 essendo 180°(1-2/n) la misura dell’angolo di un poligono regolare in funzione del numero di lati n. Risolvendo l’equazione rispetto a k otteniamo:
k=2n/(n-2) cioè k=2+4/(n-2). Adesso poiché k ed n sono numeri naturali positivi si nota facilmente che 4/(n-2) deve essere naturale e quindi n può essere uguale solamente a 3, 4, 6 cioè i poligoni regolari con cui si può piastrellare una superficie sono solo triangoli equilateri, quadrati ed esagoni.