A.G.a.Fe (Algebraic Geometry at
Ferrara)
Jacobi e il “Fundamenta Nova Theoriae functionum
ellipticarum”
Contemporaneamente e
indipendentemente da Abel, lo studio delle
“funzioni ellittiche” fu anche oggetto delle ricerche di Carl Gustav Jacob Jacobi. Nel 1827, quasi
contemporaneamente all’uscita sul giornale del Crelle della prima parte della
memoria di Abel Recherches sur les
fonctions elliptiques,
Jacobi pubblicò la nota Estraits de deux lettres a Shoumacher nella quale
considerò il problema dell’inversione degli integrali ellittici (nelle
notazioni di Legendre) e comunica, senza fornire la dimostrazione, un nuovo
risultato sulla trasformazione di questi integrali. La dimostrazione apparirà
poco dopo in Demostratio theorematis ad theoriam
functionam ellipticarum spectantis [Astronomische Nachrichten, n. 127, 1827],
probabilmente Jacobi ebbe l’idea della dimostrazione dopo la lettura della prima
parte della memoria abeliana. Abel rimase contrariato da questo fatto e subito
si affrettò a pubblicare Solution d’un
problème général concernat la trasformation des foctions élliptiques [Astronomische
Nachrichten n. 138, 1828]. Nel 1829, lo stesso anno della morte di Abel, Jacobi pubblicò la sua
memoria più importante sulle funzioni ellittiche Fondamenta nova functionum
ellipticarum. Per questa sua
opera, Jacobi divide con
Abel la gloria di aver fondato la teoria delle funzioni ellittiche.
Jacobi, come
Abel, partì dagli integrali di primo tipo scegliendo però la forma canonica trigonometrica di Legendre
ove k, 0 <k< 1, è il modulo. Jacobi chiama φ amplitudine e pone φ= amu per denotare la funzione φ di u definita dalla (1); definisce poi le funzioni
ellittiche
sinamu, inversa dell’integrale,
Questa notazione fu abbreviata da Christoph
Gudermann (1798–1851) in Theorie der Modular-Functionen und der
Modular-Integrale (p.
14–15) che denotò le tre funzioni con snu, cnu, dnu rispettivamente.
L’estensione delle funzioni al campo complesso è ottenuta da Jacobi mediante il cambiamento
di variabile
sinamu = itanamv. Il teorema di
addizione, la doppia periodicità, gli zeri e i poli furono determinati da
Jacobi seguendo una strada simile a quella seguita da Abel. In particolare i
periodi di snu sono 4K e 2iK’ dove
Per rappresentare le funzioni ellittiche come quoziente di funzioni
intere, Jacobi introdusse le funzioni ausiliari H(u) e Θ(u), dette poi “funzioni theta”.
Mediante queste funzioni Jacobi fu in grado di scrivere le seguenti
formule:
Successivamente nel corso delle sue lezioni, Jacobi mutò l’intero
ordine della trattazione e prese la funzione Θ come
punto di partenza e che definì come serie di funzioni ovunque convergenti.
L’uso di queste funzioni intere H e Θ fu un importante
passo avanti, non solo per lo sviluppo della teoria, prima con Liouville e poi con Weierstrass,
ma anche e soprattutto, in vista del futuro sviluppo della teoria degli
integrali abeliani.
Progetto: Andrea Del Centina Realizzazione: Francesca Braga