A.G.a.Fe (Algebraic Geometry at
Ferrara)
Abel e l’inversione dell’integrale ellittico di
prima specie
L’analogia degli
integrali ellittici con
ed il teorema di addizione dei Euler, suggerì a Niels Henrik Abel (1802–1829), lo studio delle
funzioni inverse degli integrali ellittici. L’idea di Abel fu dunque quella di
considerare non la dipendenza del valore dell’integrale di prima specie F dall’estremo di integrazione, ma di
considerare quest’ultimo come funzione del valore dell’integrale. Infatti nell’introduzione della memoria Recherches sur les fonctions elliptiques (1827) [Journal fur die reine Angewandte Mathematik, Oeuvres Complétes, par B.
Holmboe, Christiana,1839, Tomo I, pp. 141–252; Oeuvres Complétes, par S. Lie et L. Sylow , Christiana,1881, Tomo I] che ricevette ammirazione in tutta Europa e collocò Abel tra i più grandi
matematici, scrisse: “
Je me propose, dans ce mémoire, de considérer la fonction inverse, c’est-àdire
la fonction φα, determinée par les equations 
. ”
Nel primo quarto del XIX secolo, Augustin
Louis Cauchy (1789–1857) aveva posto su solide basi la teoria
dell’integrazione nel campo complesso e questo fu uno strumento importante
negli studi di Abel (e poi di Jacobi). Abel, conosceva
senz’altro i lavori di Euler, Lagrange e Legendre sugli integrali ellittici ed
è possibile che sia stato ispirato per le sue ricerche da alcune osservazioni
di Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855)
nel suo Disquisitiones arithmeticae (v. oltre). Già nel 1823 Abel
aveva pensato di invertire gli integrali ellittici per ottenere nuove funzioni
trascendenti. Ciò si evince da alcune lettere indirizzate all’amico Bernt
Holmboe nel 1826 da Parigi e da Berlino. Molto probabilmente, durante il suo
soggiorno a Parigi, Abel aveva già ottenuto alcuni dei risultati più importanti
su queste funzioni. Dobbiamo dire che il primo ad avere l’idea di invertire
l’integrale ellittico associato all’arco di lemniscata, e studiare la funzione
che ne deriva, fu Gauss (lettera a Friedrich
Wilhelm Bessel (1784–1846) il 30 marzo 1828):
..fortunatamente non devo affrettarmi a redigere
le mie ricerche sulle funzioni trascendenti, alle quali mi sono dedicato per
molti anni - fin dal 1798. Il Sig. Abel, come ho visto, mi ha preceduto e
risparmaiato la fatica per circa un terzo riguardo a queste cose, tanto più che
egli ha dato tutti gli sviluppi con
molta eleganza e concisione. Egli ha preso proprio la stessa strada che avevo
seguito nel 1798 e non c’è da stupirsi se i risultati coincidono . [Werke,
Bd 10, p. 248].
Infatti in Disquisitiones
arithmeticae (1801)
Gauss affermò che:
i
principi della divisione del cerchio possono essere applicati non solo alle
funzioni circolari, ma anche ad altre funzioni trascendenti, per esempio quelle
dipendenti dall’integrale 
” [Werke Bd. 1, pp. 412–413],
dimostrando così di essere a conoscenza del
problema della suddivisione dell’arco di lemniscata. Gauss non pubblicò mai
questi studi, né (come lui stesso afferma nel seguito della lettera a Bessel)
ne parlò con alcuno.
Abel considera gli integrali del primo tipo
e osserva subito che le formule che andrà a considerare saranno più
semplici se questo integrale è posto nella forma, più simmetrica,
dove c ed e sono costanti reali e 
.
Abel considera la funzione inversa 
(come x = sinu è l’inversa di 
), che estende ad una
funzione meromorfa φ(z) sul campo complesso per mezzo di
ripetute applicazioni del teorema di addizione e prova che φ(z) è dotata di soli poli
semplici e doppiamente periodica. Così, essenzialmente mediante considerazioni
algebrico geometriche di natura elementare, egli pervenne all’esistenza ed alle
proprietà basilari di quelle che oggi sono dette “funzioni ellittiche”.
Progetto: Andrea Del Centina Realizzazione: Francesca Braga