VI. 3. Serie e flussioni di Newton
Sembra che prima della fine del 1664 Newton avesse ormai raggiunto i limiti della conoscenza matematica e fosse pronto a dare propri contributi. Le sue prime scoperte, che risalgono ai primi mesi del 1665, furono il risultato della sua abilità di esprimere funzioni in termini di serie infinite. Nel 1665 Newton cominciò anche a riflettere sulla flussione, cioè sulla velocità con cui variano grandezze capaci di variare con continuità, o "fluenti", come lunghezze, aree, volumi, distanze, temperature. Da allora in poi, Newton collegò questi due problemi, degli sviluppi in serie e delle velocità di variazione, unificandoli in quello che egli chiamava "mio metodo".
Il primo scritto sulla sua analisi infinita fu De analysi per aequationes numero terminorum infinitas [76], composto nel 1669 ma pubblicato solo nel 1711. In esso Newton scriveva:
E qualsiasi cosa l'analisi comune [ossia l'algebra] esegua per mezzo di equazioni con un numero finito di termini (purché lo si possa fare), questo metodo può sempre eseguire la stessa cosa per mezzo di equazioni infinite. Così non ho esitato a dare ad esso lo stesso nome di "analisi". Infatti i ragionamenti usati in questa analisi non sono meno certi di quelli usati nell'altra, e le sue equazioni non sono meno esatte; sebbene noi mortali, con le nostre capacità di ragionamento molto limitate, non possiamo né esprimere né concepire tutti i termini di queste equazioni in modo da sapere esattamente in base ad essi le quantità che desideriamo ... Per concludere, possiamo giustamente ritenere che ciò spetti all'Arte analitica, con l'aiuto della quale è possibile determinare esattamente e geometricamente le aree e le lunghezze delle curve.
Incoraggiati dall'esempio di Newton, i matematici successivi
non cercarono più di di evitare processi infiniti, come avevano
fatto i greci, perché ora erano considerati legittimi nel campo
della matematica. Il De analysi conteneva, oltre alla
ricerca sulle serie infinite, la prima esposizione sistematica
della principale scoperta matematica di Newton: il calcolo
infinitesimale. Non aveva ancora elaborato la sua notazione delle
flussioni, ma aveva però formulato un metodo sistematico di
differenziazione che non era molto diverso da quello pubblicato
da Barrow nel 1670. Basta sostituire le lettere a ed e
di Barrow con le lettere di Newton qo e po
rispettivamente per ottenere la prima forma newtoniana del
calcolo infinitesimale. Evidentemente Newton considerava o
come un intervallo di tempo breve e op e oq
come i piccoli incrementi per i quali x e y
variavano in tale intervallo. Il rapporto rappresentava pertanto
quello tra i rapporti istantanei di variazione di y e di
x: in altri termini, rappresentavano la pendenza della
curva f(x, y) = 0. La pendenza della curva
, per
esempio, veniva trovata a partire da
, sviluppando entrambi i
membri secondo la formula del binomio, dividendo il tutto per o
e trascurando i termini che contenevano ancora o: il
risultato ottenuto era
Più tardi Newton, trattando una funzione esplicita a un'unica variabile x, abbandonò i suoi p e q e usò o per indicare una piccola variazione della variabile indipendente, notazione usata anche da Gregory.
E' noto che nella esposizione più conosciuta che Newton fece
dei suoi metodi infinitesimali, egli considerava x e y
come quantità "fluenti", di cui le quantità p
e q rappresentavano le "flussioni" o velocità
di variazione. Quando redasse questa esposizione del calcolo
infinitesimale verso il 1671, sostituì p e q
con le lettere puntate e
. Indicò le fluenti, di cui x e y
erano le flussioni, con
e
. Raddoppiando i punti e le lineette
riuscì a rappresentare flussioni di flussioni o fluenti di
fluenti. Si osservi che il titolo del lavoro, quando venne
pubblicato molto tempo dopo nel 1742 (sebbene ne fosse apparsa
una traduzione inglese nel 1736), non era semplicemente il metodo
delle flussioni, ma Methodus fluxionum et serierum
infinitorum. Nel 1676 Newton redasse una terza esposizione
del suo calcolo infinitesimale, con il titolo De quadratura
curvarum, cercando questa volta di evitare sia le quantità
infinitamente piccole sia le quantità fluenti, sostituendole con
quello che egli chiamava "metodo delle prime e ultime
ragioni". Egli trovò la "prima ragione di aumenti
crescenti" o l'"ultima ragione di incrementi
evanescenti" nel modo seguente:
La quantità x (si noti che non viene usato il termine funzione) fluisca uniformemente, e sia da trovarsi la flussione della quantità
.
Nel tempo in cui la quantità x fluendo diventa x+ o la quantità
diventa
, cioè, secondo il metodo delle serie infinite (cioè secondo lo sviluppo del binomio di Newton):
Gli incrementi o e
stanno tra loro come 1 sta a
. Se ora quell'incremento svanisce, la loro ultima ragione sarà
.
Qui Newton era effettivamente molto vicino al concetto di limite; la principale obiezione riguardava l'uso del termine "svanire".
Newton scoprì il metodo degli sviluppi in serie e il calcolo
infinitesimale negli anni 1665-1666, e nel corso del decennio
successivo stese almeno tre esposizioni esaurienti della nuova
analisi. Il De analisi fu fatto circolare fra gli amici,
tra cui John Collins e Isaac Barrow, e lo sviluppo della serie
infinita binomiale fu comunicato per lettera a Oldenburg e a
Leibniz; ma Newton non fece nulla per pubblicare i suoi
risultati, anche se sapeva che Gregory e Mercatore nel 1668
avevano divulgato le loro ricerche sugli sviluppi in serie. La
prima esposizione del calcolo infinitesimale che Newton abbia
pubblicato apparve nei Philosophiae naturalis principia
mathematica del 1687, il più ammirato trattato scientifico
di tutti i tempi. Questo libro viene descritto generalmente come
quello che presenta i fondamenti della fisica e dell'astronomia
nel linguaggio della geometria pura. E' vero che quest'opera
presenta in larga parte una esposizione in forma sintetica, ma vi
sono mescolati frequentemente passi in forma analitica. Infatti,
la prima sezione del Libro I è intitolata: "Il metodo delle
prime e ultime ragioni delle quantità, con l'aiuto del quale
dimostriamo le proposizioni che seguono".
Nella prima edizione dei Principia Newton ammetteva che
Leibniz possedeva un metodo simile, ma nella terza edizione del
1726, in seguito all'aspra polemica tra i sostenitori dei due
scienziati in merito all'indipendenza e priorità della scoperta
del calcolo infinitesimale, Newton eliminò il riferimento al
calcolo di Leibniz. E' oggi abbastanza evidente che la scoperta
di Newton precedette quella di Leibniz di circa dieci anni, ma
che d'altra parte la scoperta di Leibniz fu fatta
indipendentemente da quella di Newton. Inoltre a Leibniz va
riconosciuta la priorità di pubblicazione: infatti pubblicò una
esposizione del suo calcolo nel 1684 negli Acta Eruditorum,
una sorta di periodico mensile scientifico che era stato fondato
due anni prima.