II. 7. Le curve dei greci

Le questioni riguardanti le linee curve e le loro proprietà hanno sempre interessato i geometri dell'antichità classica. A parte la retta e il cerchio, il cui dominio su tutta la geometria greca è incontrastato (si pensi al ruolo delle costruzioni con riga e compasso negli Elementi di Euclide), lo sforzo maggiore è diretto verso lo studio delle sezioni coniche (ellisse, parabola e iperbole). Chi ha trattato l'argomento in maniera più esauriente è stato Apollonio di Perga (III sec. a.C.) nella sua opera, le Coniche. Apollonio enuncia e risolve il cosiddetto "problema di Pappo" nel caso di 4 rette. Dopo 500 anni, questo problema verrà enunciato nella sua forma più generale da Pappo; nel 1600 esso fornirà a Descartes il punto di partenza per la nuova geometria.
Le sezioni coniche sono l'unica classe di curve note ai greci: le altre sono linee speciali usate per la risoluzione di problemi particolari come la trisezione dell'angolo, la quadratura del cerchio, la duplicazione del cubo, … Inoltre, nella geometria greca, non vi sono risultati riguardanti la lunghezza di una curva, tanto meno sulle superfici.

Di seguito viene riportato l'elenco delle curve più famose. Se il vostro programma di navigazione supporta il codice JAVA, clickare qui per interagire con le curve e le loro associate.

Puntando su uno di questi nomi, apparirà una pagina con il grafico della curva prescelta seguita dall'equazione cartesiana che la definisce. Vi è poi la possibilità di vedere le curve associate alla stessa e alcuni cenni storici.

Per facilitare la consultazione di queste pagine, vengono riportate alcune definizioni. E' possibile accedere anche ad un elenco più completo.

Caustica: Quando la luce riflette su una curva, allora l'inviluppo dei raggi riflessi si chiama caustica per riflessione o catacaustica. Quando la luce è rifratta da una curva, allora l'inviluppo dei raggi rifratti è una caustica per rifrazione o diacaustica.

Evoluta: E' lo sviluppo delle normali alla curva data. Può essere anche pensata come il luogo dei centri di curvatura.

Inversa: Data una circonferenza C di centro O e raggio r, due punti P e Q sono inversi rispetto a C se OP.OQ = r. Se P descrive una curva C allora Q descrive una curva C chiamata l'inversa di C rispetto alla circonferenza C.

Involuta: Se C è una curva e C' è la sua evoluta, C è chiamata la involuta di C'. Ogni curva parallela a C è anch'essa una involuta di C'. Quindi una curva ha una unica evoluta, ma infinite involute. Viceversa una involuta può essere pensata come curva ortogonale a tutte le tangenti alla curva data.

Pedale: Data una curva C, la curva pedale di C rispetto ad un punto fissato O (chiamato punto pedale) è il luogo dei punti P di intersezione delle perpendicolari da O alle tangenti a C.

Pedale negativa: Data una curva C e un punto fissato O, per un punto P su C si tracci una linea perpendicolare a OP. Lo sviluppo di tali linee al variare di P sulla curva C è la pedale negativa di C. L'ellisse è la pedale negativa di un cerchio se il punto fisso è interno al cerchio, mentre se il punto è esterno è l'iperbole.