Distorsioni e criteri di scelta di una carta

Distorsioni risultanti dalle proiezioni cartografiche

Come si è detto una mappatura della Terra senza introdurre distorsioni si può realizzare solo su di un mappamondo. In questo modo ciò che cambia è soltanto la scala. Distanze, angoli e aree, azimut, lossodromie e geodetiche, sono tutte riprodotte senza distorsioni. Tuttavia l’utilizzo dei mappamondi è piuttosto sconveniente sia a livello di costi e difficoltà di produzione, sia per la scarsa praticità nell’uso. Da qui la necessità di disegnare mappe su una superficie piana. Ogni qualvolta la superficie sferica è trasformata in un piano, una cosa è sicura: tutte le relazioni geometriche sulla sfera, come il parallelismo dei paralleli, la convergenza dei meridiani e la perpendicolarità dell’intersezione di paralleli e meridiani, non possono essere completamente rispettate. In aggiunta alle inevitabili variazioni nella scala di rappresentazione, le alterazioni più notevoli hanno a che fare con angoli, aree, distanze, e direzioni.

Trasformazione di angoli La rosa dei venti appare lo stessa in ogni punto sulla superficie del globo (eccetto ai poli). Cioè, in ogni punto, le direzioni cardinali distano sempre 90°. È possibile mantenere questa proprietà angolare su una proiezione cartografica. Quando ciò accade la proiezione è chiamata "conforme" o "ortomorfica" perché conserva le forma. È importante capire che si parla in termini di direzioni e angoli calcolati in punti di aree infinitesimamente piccole e di conseguenza non ha senso parlare di conservazione della forma per regioni di area significativa.

Consideriamo ora la riproduzione della sfera terrestre su di un globo ipotetico che chiamiamo "globo di riferimento" e al quale sarà associata un fattore di scala, detto "scala principale" (raggio terrestre/raggio del globo di riferimento). La scala principale si mantiene costante per ogni punto sulla superficie del globo. Nel passaggio dalla superficie sferica del globo alla superficie piana, viene definito il "fattore di scala" SF che è dato dal rapporto fra la scala della rappresentazione piana e la scala principale. Per definizione, l’SF è 1.0 sul globo di riferimento in ogni direzione e in ogni punto, ma con l’utilizzo delle proiezioni è facile incorrere in distorsioni che fanno variare l’SF da punto a punto della superficie o a seconda della direzione rispetto ad un dato punto. E’ possibile però ottenere rappresentazioni in cui SF risulti costante (cioè, a=b secondo Tissot, come vedremo dopo), anche se non uguale a 1.0 in ogni punto (cioè non si conservano le aree). Quando si verifica questa condizione, tutte le direzioni attorno ad un qualsiasi punto saranno rappresentate fedelmente, ed i paralleli e i meridiani si intersecheranno formando angoli di 90°.

Trasformazione di aree È anche possibile, in una mappa cartografica, conservare le aree così che tutte le regioni siano rappresentate in taglia relativamente corretta. Tale proiezione è detta di ugual-area o "equivalente".

Un teorema formulato nel XIX secolo dal matematico francese A. Tissot, dice che: qualunque sia il sistema di trasformazione, esiste in ogni punto della superficie sferica almeno una coppia di direzioni ortogonali che si mantengono ortogonali anche nella proiezione. Tali coppie prendono il nome di "direzioni principali". La proprietà di equivalenza delle aree si ottiene facendo in modo che il prodotto degli SF nelle direzioni principali risulti uguale a 1.0 ad ogni punto. L’SF varierà invece in ogni altra direzione rispetto ad un punto (ovvero, la proiezione non sarà conforme). Osserviamo che nessuna proiezione può essere sia conforme che equivalente in quanto è evidente che i requisiti di scala per la conformità (a=b) e per l’equivalenza (ab=1.0 per tutti i punti) sono contraddittori. La condizione a=b=1.0 si verifica solo in alcuni punti standard o in ogni punto di una linea standard (come vedremo qui di seguito), ma non in ogni punto della superficie.

Trasformazione di distanze La corretta rappresentazione delle distanze è soprattutto una questione di mantenimento di scala. Ovvero, per una distanza tra due punti che debba essere rappresentata fedelmente attraverso una proiezione, la scala deve essere uniforme lungo l'intera estensione della linea che congiunge i due punti. La scala deve essere anche la stessa della scala principale. Per rappresentare le distanze in una mappa, abbiamo due possibilità:

1. fare in modo che il fattore di scala 1.0 sia mantenuto lungo una o più linee parallele, ma solamente lungo tali linee. Quando questo accade, tali linee sono chiamate "linee standard" o "paralleli standard".

2. far sì che il fattore di scala 1.0 sia mantenuto in tutte le direzioni rispetto ad uno o due punti, ma solamente per quei punti. Le risultanti proiezioni sono dette "equidistanti" ed i punti sono chiamati "punti standard".

Trasformazione di direzioni E’ impossibile rappresentare ogni distanza sulla Terra con una scala di mappa costante ma è anche impossibile rappresentare correttamente tutte le direzioni della Terra con linee diritte. È vero che possiamo sistemare la distribuzione dell’SF così da ricondurre le lossodromie (o archi di cerchi massimi) a linee rette (proiezione lossodromica), ma nessuna proiezione può rappresentare le direzioni in modo che tutti i cerchi massimi risultino linee diritte formanti angoli sul reticolo della mappa uguali a quelli che si hanno sul reticolo del globo.

Per esempio, l'asserzione che la proiezione di Mercatore "mostra la vera direzione" implica solamente il fatto che le linee tracciate mantenendo uno stesso angolo nella bussola sono disegnate come linee rette nella mappa. Tale asserzione è quindi erronea in quanto la direzione su una sfera è quella determinata lungo un cerchio massimo e non lungo la lossodromia (Figura a fianco). In definitiva possiamo pensare a direzioni corrette su una mappa proiettiva solo se un cerchio massimo è mostrato come un linea retta. Nel suo punto di inizio, sia sul globo di riferimento che nella rappresentazione piana, questa linea uscirà dal meridiano con lo stesso azimut. Con queste condizioni molte sono le rappresentazioni possibili:

1. gli archi di cerchio massimo tra tutti i punti della superficie sferica possono essere rappresentati da linee diritte ma solo per un'area molto limitata. L’azimut non risulta corretto e da ciò discende che non è possibile estendere questo processo ad un intero emisfero.

2. gli archi di cerchio massimo con azimut corretti possono essere mostrati come linee diritte per tutte le direzioni uscenti da uno o, al massimo, due punti. Tali proiezioni sono chiamate "azimutali".

L’arco di cerchio massimo (linea continua) e la lossodromia (linea tratteggiata) tra Kansas City negli Stati Uniti e Mosca in Russia come appaiono sulla proiezione di Mercatore. L’arco di cerchio massimo mostrato è la "vera direzione", infatti è il percorso più corto da Kansas City a Mosca.